第二章　必刷小题2　函数的概念与性质

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷小题2　函数的概念与性质一、单项选择题1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－1<x<5}，则集合A∩B中整数的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0或3≤x<5}，故其中整数元素有0,3,4，共3个．2．(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是(　　)A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0C．∃x∈R，f(x)≠f(－x)D．∀x∈R，f(x)≠f(－x)答案　C解析　因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数，所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题，则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题．3．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　)A．－7B．－3C．3D．7答案　B解析　设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.4．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)A．y＝－B．y＝x－sinxC．y＝tanxD．y＝x3－x答案　B解析　y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误；y＝x－sinx，因为y′＝1－cosx≥0，x∈R，所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；y＝tanx在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误；y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期5．(2022·镇江模拟)“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数，则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sinx－(a－1)cosx，化简得a－1＝0，故a＝1，当a＝1时，f(x)＝sinx是奇函数，因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的充要条件．6．(2023·郑州模拟)已知f(x)＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定答案　C解析　因为f(x)＝x3＋2x，x∈R，f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，又因为f′(x)＝3x2＋2>0，所以f(x)在R上单调递增，又因为a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，所以a<－b，c<－a，b<－c，所以f(a)<f(－b)＝－f(b)，f(c)<f(－a)＝－f(a)，f(b)<f(－c)＝－f(c)，所以f(a)＋f(b)＋f(c)<－[f(a)＋f(b)＋f(c)]，即f(a)＋f(b)＋f(c)<0.7．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f(1)<f <f B．f <f(1)<f C．f <f <f(1)D．f <f(1)<f 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　B解析　因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(1)＝f(3)，因为2<<3<，所以f >f(3)>f ，则f >f(1)>f .8．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋f(－lnx)<2f(1)的解集为(　　)A．(e，＋∞)B．(0，e)C.∪(1，e)D.答案　D解析　函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2的定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsinx＋cosx＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，当x>0时，2＋cosx>0，则f′(x)>0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(lnx)＋f(－lnx)＝2f(lnx)<2f(1)，可得f(|lnx|)<f(1)，得|lnx|<1，即－1<lnx<1，解得<x<e.二、多项选择题9．(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　)A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝－1C．f(x)＝lnD．f(x)＝lnsinx答案　ABC解析　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由f(x)＝lnsinx知，sinx>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故选ABC.10．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是(　　)A．f(2)>f(5)B．f(－1)＝f(5)C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2)D．f(0)与f(3)的大小不确定答案　AD解析　由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，可得f(2)>f(5)，故A正确；题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称，所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确；根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确；x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确．11．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的是(　　)A．f(x)是周期为4的周期函数B．f(x)的图象关于点(1,0)对称C．f(x)是偶函数D．f(x)的图象经过点(－2,0)答案　ABC解析　由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A正确；又f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C正确；又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，无法判断其值，故D错误．12．(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．f(－2)＝0B．f(1)＝0C．f(2)＝0D．f(4)＝0答案　ACD解析　因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确；由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0，因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确；令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足．三、填空题13．(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f ＝________.答案　解析　由题意，可得f ＝sin ＝－sin ＝－，则f ＝f ＝2＋1＝.14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________．答案　f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一)解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.15．已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是________．答案　－9或－6解析　当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1,2]上单调递增，3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，而3＋a<3,3＋a<12＋a，则或所以a＝－9或a＝－6.16．已知函数f(x)＝－ln|x|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是________．答案　∪解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝－lnx，因为函数y＝，y＝－lnx均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则即即解得－<t<2且t≠－，故不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是∪.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期