东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题（原卷版）

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，复数z⋅=+i12i，则z=（）A.−−2iB.−+2iC.2i+D.2i−2.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A.若m//α，n//α，则mn//B.若mn//，m⊂α，则n//αC.若m//α，m//β，则αβ∥D.若m//α，m⊥β，则αβ⊥3.高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（）A.20.2B.40.4C.50D.50.24.在直三棱柱ABCABC111中，AA1=22AB=AC，且AB⊥AC，则异面直线AB1与AC1所成角的余弦值是（）4321A.B.C.D.55235.数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A.4.5B.5.5C.6D.86.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）20πA.B.20πC.(1045+)πD.(11105+)π3第1页/共5页 7.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（）A.165.5B.166C.166.5D.1688.棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（）26A.1B.C.3D.23二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9.某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（）A.a的值为0.018B.估计员工平均服务时长为45小时C.估计员工服务时长的中位数为48.6小时D.估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人10.正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则ADBG⋅的值可能为（）A.−3B.−1C.12D.1611.如图，正三棱锥ABCD−和正三棱锥E−BCD的侧棱长均为2，BD=2．若将正三棱锥ABCD−绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（）第2页/共5页 A.MN⊥BDB.MN⊥CEC.MC的长度为6D.点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为3三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．1312.已知复数z=−+i，复数z2满足zz12−=3，则z2的最小值为________．12213.设正方体ABCD−ABCD1111的棱长为1，E，F分别为AB，BD1的中点，点M在正方体的表面上运动，且满足FM⊥DE，则点M轨迹的长度为________．14.有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________．四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，B=120°．（1）若a=1，b=3，求A；（2）若b=23，求ABC周长的最大值．16.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=AD=2，BC=1，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）求直线CE与平面PAD所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）17.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播第3页/共5页 平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．18.如图，已知正方体ABCD−ABCD1111的棱长为2，M分别为棱BB1的中点．（1）证明：AC⊥DM1；（2）求平面AMD1与平面ABCD所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面ABC，记其面积为S球面△ABC．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，A′；若球面上A，B，C的对径点分别为A′，B′，C′，则球面ABC′′′与球面ABC全等，如图2．已知球O的半径为R，圆弧AB和圆弧AC所在平面组成的锐二面角B−−AOC的大小为α，圆弧BA和圆弧BC所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA和圆弧CB所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记SS(α)=球面ABC+S球面ABC′++SSABC′′球面ABC′′′．第4页/共5页 ππ（1）请写出S(π)，S，S的值，并猜测函数S(α)的表达式；24（2）求S球面△ABC（用α，β，γ，R表示）．第5页/共5页