湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（原卷版）
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湖南师大附中2023年上学期高一期末测试卷.数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则AB()=（）UA.{1}B.{5}C.{1,5}D.{1,2}52.已知复数z=（i是虚数单位），则z=（）i2−A.2i−B.2i+C.−+2iD.−−2i3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且E为AO的中点，则DE=（）DCOEAB31131331A.AB−ADB.AB+ADC.AB−ADD.AB+AD444444444.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（）A.100，50B.100，1050C.200，50D.200，10505.下列说法不正确的是（）．．．A.若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点B.若αβ=a，βγ=b，且a∥b，则α∥γC.垂直于同一条直线的两个平面互相平行D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行.x−16.函数fx()=sinx⋅ln的大致图象为（）x+1,A.B.C.D.7.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数Rt()与天数ktt之间满足关系式：Rt()=Re，其中k为常数，t=0是刚发布的时间。则教师用户超过30000名至少经过的0天数为（参考数据：lg3≈0.4771）（）A.11B.12C.13D.1418.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）213313A.B.C.D.1616416二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一组样本数据x，x，…，x，其中x是最小值，x是最大值，则（）12616A.x，x，x，x的平均数等于x，x，…，x的平均数.2345126B.x，x，x，x的第60百分位数等于x，x，…，x的第60百分位数.2345126C.x，x，x，x的标准差不大于x，x，…，x的标准差2345126D.x，x，x，x的极差不大于x，x，…，x的极差2345126ab10.已知ee>，则下列不等式一定成立的有（）11ab−20232023A.<b.π>1C.ab>D.lg(ab−>)122ab11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记,录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）1A.PA()=B.事件A与事件B互斥43C.事件A与事件B相互独立D.PAB()=412.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（）APDGPDEEBFCBFA.BG⊥EF2B.G到平面DEF的距离为36C.若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为3D.四面体G−DEF外接球表面积为24π三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.π1013.已知cosθ+=−，则sin2θ=_________.41014.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是_________.15.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________.16.在△ABC中，AB=（2m，m+5），AC=（cosα，sinα），（m∈R，α∈R），若对任意的实数t，ABtAC−≥−ABAC恒成立，则BC边的最小值是_________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点.（1）求证：AM⊥平面CDP；（2）求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值.,18.（本小题12分）已知在△ABC中，ABC+=2，2sin(AC−=)sinB.（1）求sinA；（2）设c=27，求△ABC的面积.2xπ19.（本小题12分）已知向量mx=−−4sin1,cos，n=(1,2)，记函数fxmn()=⋅.23（1）求使函数fxmn()=⋅成立的x的取值集合；π1312（2）已知α，β均为锐角，fα+=，sin(αβ−=)−，求sin2(αβ−)的值.651320.（本小题12分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)中的市民有200人.心理测评评价标准调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]心理等级EDBBA（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.（每组的每个,数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）（3）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心1理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转为B的概率为，调查评41分在[50,60)的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的33人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率；21.（本小题12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD−A'B'C'D'中，M为AD的中点.（1）求证：DB'∥平面BMA'；（2）在体对角线DB'上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面BMA'？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由.D'C'C'B'A'B'D'A'DCCBMABDMA22.（本小题12分）设函数fx()的定义域为D，对于区间I=[ab,]（ab<，ID⊆），若满足以下两条性质之一，则称I为fx()的一个“Ω区间”.性质1：对任意xI∈，有fxI()∈；性质2：对任意xI∈，有fxI()∉.（1）分别判断区间[1,2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；4①yx=−3；②y=；x2（2）若[0,m]（m>0）是函数fx()=−+x2x的“Ω区间”，求m的取值范围；（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数fx()满足：对任意a，b∈R，且ab<，有fafbba()−()>−.求证：fx()存在“Ω区间”，且存在x∈R，使得x不属于fx()的任意一个“Ω区间”.00,湖南师大附中2023年上学期高一期末测试卷数学答案一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】∵全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，∴=B{1,5}，∴=AB(){1}.故选A.UU2.【答案】C552(−−i)−−105i【解析】zi====−−2，∴=−+zi2.故选：C.i−222(−+−−ii)()53.【答案】C【解析】画出图形，如下图.111选取AB，AD为基底，则AE=AO=AC=(AB+AD)，244113∴=−=DEAEAD(AB+−=−AD)ADABAD.故选C.4444.【答案】D8020035%×【解析】由分层抽样的概念可得样本容量为=200，则该地区的初中生有=3500人，所以40%2%该地区的初中生近视人数为350030%1050×=.故选D.【答案】B.【解析】A项：直线与平面平行——没有公共点，故直线与平面内任意一条直线都无公共点，A项正确；B项：α和β有可能平行，有可能相交，B项错误；C项：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，由两组这样的交线平行即可证明面面平行，C项正确；D项：直线与平面垂直的性质定理，D项正确；故选B.6.【答案】Dx−1【解析】解：函数fx()=sinx⋅ln的定义域为(−∞−,1)(1,+∞)，x+1−−xxx111+−由fx(−)=sin(−x)⋅=ln−sinx⋅=⋅=lnsinxlnfx()，−+xxx111−+则fx()为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，1又f(3)=⋅<sin3ln0，故排除b，故选d.27.【答案】c,0r0=100rr(0)=0e=100【解析】由题设5k，可得ln10，rr(5)=0e=1000k=5ln10ln10tt所以rt()=100e5，则100e5>30000，5ln300故k>=5lg300=×+≈5(lg32)12.3912>，ln10所以教师用户超过20000名至少经过13天．故选：C8.【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的2个都开且上边的2个中有一个开另一个闭，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，1111111111113所以灯泡不亮的概率为×××+×××+×××=，22222222222216313所以灯泡亮的概率为1−=，故选D.1616二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.【答案】BD【解析】对于A：不妨令xxxx====5，x=1，x=6，234516xxxxxxxxxx2345123456++++++++xxxx2345+++−+2(xx16)1则−==≠0，故A错误；46122对于B：不妨令xxxx≤≤≤，因为40.6×=2.4，则x，x，x，x的第60百分位数是x；234523454因为x是最小值，x是最大值，且60.6×=3.6，故x，x，x，x，x，x的第60百分位数依然是x，161234564故B正确；对于C：C错误；对于D：设x，x，x，x中最小值为x，最大值为x，则xx≤，xx≤，2345251256则xxxx−≤−，故D正确；故选BD．526110.【答案】BCab【解析】由ee>得ab>.11A.令a=1，b=−1，则=，故选项A错误；22abab−0B.因为ab>，所以ab−>0，所以ππ>=1，故选项B正确；202320232023C.因为fxx()=为R上递增函数，由ab>得ab>，故选项C正确；,D.由ab−>0得(abR−∈)，故选项D错误．故选BC.11.【答案】CD【解析】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，21则PA()==，A不正确：事件B含有的基本事件有8个：42(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，其中事件(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，8141PB()==，PAB()===PAPB()()，即事件A与事件B相互独立，C正确；1621641113PABPAPBPAB()=()+()−()=+−=，D正确.故选CD.224412.【答案】ACD.【解析】A项：连BD，EF可知BD⊥EF．又因为DG⊥FG，DG⊥EG，EGFG=G，所以DG⊥面EFG，所以DG⊥EF．又因为DGBD=D，所以EF⊥面BDG，所以EF⊥BG，故A项正确；B项：因为EG=FG=2，EF=22，所以△EFG为Rt△EFG，所以EG⊥FG，故118V=××××=224.又因为DEFG−3232111SS=−SSS−−=−××−××−××=42224246，故G到面DEF的距△DEF正方形ABCD△BEF△ADE△CDF2223V84离d===（等体积法），故B项错误；S63△DEFC项：令BDEF=H，连GH，HP.因为BG面EFP，BG⊂面BDG，面BDG面EFG=HP，所以GP=1，DP=3．又因为EF⊥面BDG，所以EF⊥HP，EF⊥DH，所以∠DHP即为二面角DEF−−P的平面角．又因为DG⊥面EFG，所以GP⊥GH，故在Rt△GHP中，22HP=GP+GH=+=123.又因为DH=32，故在△DHP中，由余弦定理的推论：222HP+DH−DP3189+−66cos∠=DHP==，故二面角DEF−−P的余弦值为，C项正确；23HPDH⋅2332⋅⋅3D项：由于EG，FG，DG两两互相垂直，不妨将三棱锥DEFG−放置于一个长宽均为2、高为4的长方222224++2体中，其外接球半径R==6，故其表面积SR=4ππ=24，D项正确；故选ACD.2,三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．413.【答案】5ππ244【解答】sin2θθ=−cos2+=−12cosθ+=，故答案为.245514.【答案】3.232【解析】由正方体的棱长为1易得正八面体的棱长为，故其表面积Sa=83×=，故答案为3.24215.【答案】5【解析】用1、2、3表示3个红色球，4、5表示2个绿色球，用数组(xy,)表示可能的结果，x是第一次摸到球的标号，y是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20个．其中两个球颜色相同的事件有：(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,5)，(5,4)，共8种，故82所求事件的概率为=.20516.【答案】19【解答】设AD=tAC，如图，∵对任意的实数t，ABtAC−≥−ABAC恒成立则ABtAC−=−=≥ABADDBCB恒成立，∴⊥ACBC，AB=(2,mm+5)，AC=(cos,sinαα)，222∴=AB5(m++1)20，AC=1，∴BC=AB−AC≥201−=19，故答案为19.,三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）∵侧面ADP为正三角形，M为DP中点，∴⊥AMDP.又底面ABCD为正方形∴⊥CDAD.又面ADP⊥面ABCD且面ADP面ABCD=AD，∴⊥CD面ADP，∴⊥CDAM.又CDDP=D，∴⊥AM面CDP.（2）取AD的中点E，连BE，EP.同（1）理：EP⊥面ABCD，则∠EBP是所求直线与平面所成角.22不妨设AD=2a，则在正△ADP中，EP=3a；在Rt△ABE中，BE=+=AEAB5a；在Rt△BEP中，BP=22a.EP36a故sin∠===EBP，BP22a46所以直线BP与底面ABCD所成角的正弦值为.4π18.【解析】（1）ABC+=2，ABC++=π∴=C.3又2sin(AC−=)sinB=sin(π−−=AC)sin(AC+)∴−=+2sin(ACcoscossinAC)sinACcoscossinAC,133∴=sinACcos3cossinAC，即sinAA=cos，2222π33321又sinAA+=cos1且A∈0,，解得：sinA==.2281432117321（2）因为sinB=sin(AC+=)×+×=，1421427abcab27由正弦定理==，代入得==，∴=a6，b=4；sinABCsinsin3212131472113故S=absinC=×××64=63.△ABC22219.【解析】（1）由fxmn()=⋅知，2xπππfx()=4sin−+12cos−=x21cos(−x)−+12coscosx+sinsinx233331π=−+1cosxx3sin=+12sinxxx−cos=2sin−+1，226π15πππfx()≤⇔0sinx−≤−⇔−+2kππ≤−≤−+x2k，kZ∈，626662π解得x∈−+2kkππ,2，kZ∈；3π134（2）fαα+=2sin+=1，∴=sinα，655π23因为α∈0,，所以cosαα=1sin−=，25πππ25因为β∈0,，所以αβ−=−,，所以cos(αβ−=−)1sin(αβ−=)，222131235416所以sin2(αβ−=)sin(αβα−+=)sin(αβ−)cosα+cos(αβα−)sin=−×+×=−.1351356520020.【答案】（1）由已知条件可得n==1000，0.0210×又因为每组的小矩形的面积之和为1．,所以(0.0350.0250.020.0048++++×=t)101，解得t=0.002；（2）由频率分布直方图可得，450.02550.04650.14750.2850.35950.2580.7×+×+×+×+×+×=.估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，80.7所以市民心理健康指数平均值为=0.807>0.75.100所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.1（3）由（1）知：t=0.002，则调查评分在[40,50)中的人数是调查评分在[50,60)中人数的，若按分层2抽样抽取3人，则调查评分在[40,50)中有1人，在[50,60)中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，1223123214所以PM()=××+××+××=.43343343394故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为.921.【解析】（1）证明：连接AB′，交BA′于点E，连接EM.因为四边形ABBA′′是正方形，所以E是AB′的中点，又M是AD的中点，所以EMDB′.因为EM⊂面BMA′，DB′⊂/面BMA′，所以DB′面BMA′.（2）在对角线DB′上存在点Q，且DQ=3，使得AQ⊥平面BMA′.证明如下：因为四边形ABBA′′是正方形，所以AB′′⊥BA.因为AD⊥平面ABBA′′，BA′⊂面ABBA′′，所以AD⊥BA′.因为AB′AD=A，所以BA′⊥平面ADB′.因为BA′⊂平面BMA′，所以平面BMA′⊥平面ADB′.作AQ⊥DB′于Q，因为EMDB′，所以AQ⊥EM.因为DQ⊂平面ADB′，平面ADB′平面BMA′=EM，所以DQ⊥平面BMA′.2AD9由Rt△ADB′∽Rt△QDA，得DQ===3.DB′33所以当DQ=3时，DQ⊥平面BMA′.22.【解析】（Ⅰ）①是（满足性质1）．②不是；,（2）记Im=[0,]，SfxxI={()∈}，易知fm(0)=∈0[0,]，故若I为fx()的“Ω区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即SI⊆；22fx()=−+=−−+x2x(x11)，2当01<<m时，fx()在[0,m]上单调递增，且fmmmmmm()−=−+−=−2(m−>10)，即fmm()>，所以S=0,fm()不包含于Im=[0,]，不合题意；当12≤≤m时，Sff=(0,)(1)=⊆=[0,1][0,mI]，符合题意；当m>2时，fmf()<==(2)f(20)，所以fmI()∉，不合题意；综上可知，m∈[1,2]；（3）证明：对于任意区间I=[abab,](<)，记SfxxI={()∈}，由已知得fx()在I上单调递减，故S=fbfa(),()，因为fafbba()−()>−，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①，所以若I为fx()的“Ω区间”，必满足性质②，这只需SI=∅，即只需faa()<或fbb()>.fxx()=显然不恒成立，所以存在常数c使得fcc()≠.如fcc()<，取ac=，区间I=[abab,](<)满足性质②；如fcc()>，取bc=，区间I=[abab,](<)满足性质②；综上，fx()一定存在“Ω区间”；记gx()=fxx()−，则gx()图象连续不断，下证明gx()有零点：因为fx()在R上是减函数，所以gx()在R上是减函数，记ft(0)=；若t=0，则x=0是gx()的零点，0若t>0，则ftf()<=(0)t，即g(00)>，gt()<0，由零点存在性定理，可知存在xt∈(0,)，使得gx()=0，00若t<0，则ftf()>=(0)t，即gt()>0，g(00)<，由零点存在性定理，可知存在xt∈(,0)，使得gx()=0，00,综上，gx()有零点x，即fx()=x，000因为fx()的所有“Ω区间”I都满足性质②，故xI∉.（否则fx()=xI∈，与性质②不符）000即x不属于fx()的任意一个“Ω区间”，证毕．0</m时，fx()在[0,m]上单调递增，且fmmmmmm()−=−+−=−2(m−></sin3ln0，故排除b，故选d.27.【答案】c,0r0=100rr(0)=0e=100【解析】由题设5k，可得ln10，rr(5)=0e=1000k=5ln10ln10tt所以rt()=100e5，则100e5></b.π>
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