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湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题(解析版)

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湖南师大附中2023年上学期高一期末测试卷数学命题:高一数学备课组审题:高一数学备课组时量:120分钟满分:150分一.选择题:本大题共8个小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】全集,,,,.故选A.5−2.已知复数�=(�是虚数单位),则�=()�−2A.2−�B.2+�C.−2+�D.−2−�【来源】改编教材P94复习参考题7T1(2)【答案】C55(−2−�)−10−5�【解析】∵�====−2−�,�−2(−2+�)(−2−�)5−∴�=−2+�.故选:�.3.如图,在平行四边形????????中,对角线��与��交于点�,且�为��的中点,则��=()3113A.��−��B.��+��44441331C.��−��D.��+��4444【来源】改编教材P276.3.1平面向量基本定理练习题T2【答案】C【解析】画出图形,如下图.111选取��,��为基底,则��=��=��=(��+��),244113∴��=��−��=(��+��)−��=��−��.故选C.4444.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法随机抽取的学生进行调查,其中被抽取的小学生有人,则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为()第1页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},A.,B.,1050C.,D.,1050【来源】教材例题改编【答案】D【解析】由分层抽样的概念可得样本容量为,200×35%则该地区的初中生有=3500人,2%所以该地区的初中生近视人数为3500×30%=1050.故选D.5.下列说法不.正.确.的是()A.若直线�∥平面�,则直线�与平面�内的任意一条直线都无公共点B.若�∩�=�,�∩�=�,且�∥�,则�∥�C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行【来源】教材汇编【答案】B.【解析】A项:直线与平面平行——没有公共点,故直线与平面内任意一条直线都无公共点,A项正确;B项:�和�有可能平行,有可能相交,B项错误;C项:过这条直线作平面与这两个平面相交,则它们的交线平行,由两组这样的交线平行即可证明面面平行,C项正确;D项:直线与平面垂直的性质定理,D项正确;故选B.�−16.函数��=sin�⋅ln的大致图象为()�+1A.B.第2页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},C.D.【答案】D�−1【解析】解:函数�(�)=����⋅��的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞),�+1−�−1�+1�−1由�(−�)=���(−�)⋅��=−����⋅��=����⋅��=�(�),−�+1�−1�+1则�(�)为偶函数,图象关于�轴对称,故排除�,�,1又�(3)=���3⋅��<0,故排除�,故选D.27.某教学软件在刚发布时有100名教师用户,发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数��与天数�之间满足关系式:��=�0e��,其中�为常数,�=0是刚发布的时间。则教师用户超过30000名至少经过的天数为(参考数据:lg3≈0.4771)()A.11B.12C.13D.14【答案】C�(0)=�0e0=100�0=100【解析】由题设,可得ln10,�(5)=�e5�=1000�=05ln10ln10所以��=100e5�,则100e5�>30000,5ln300故�>=5lg300=5×(lg3+2)≈12.39>12,ln10所以教师用户超过20000名至少经过13天.故选:�18.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为()213313A.B.C.D.1616416第3页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},【来源】自主作业本练习题【答案】D【解析】由题意,灯泡不亮包括四个开关都开,下边的2个都开且上边的2个中有一个开另一个闭,这三种情况是互斥的,每一种情况中的事件都是相互独立的,1111111111113所以灯泡不亮的概率为×××+×××+×××=,22222222222216313所以灯泡亮的概率为1−=,故选D.1616二.选择题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.一组样本数据�1,�2,⋅⋅⋅,�6,其中�1是最小值,�6是最大值,则()A.�2,�3,�4,�5的平均数等于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的平均数B.�2,�3,�4,�5的第60百分位数等于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的第60百分位数C.�2,�3,�4,�5的标准差小于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的标准差D.�2,�3,�4,�5的极差不大于�1,�2,⋅⋅⋅,�6的极差【来源】改编2023年新高考一卷T9【答案】BD【解析】对于�:不妨令�2=�3=�4=�5=5,�1=1,�6=6,�2+�3+�4+�5�1+�2+�3+�4+�5+�6�2+�3+�4+�5−2�1+�61则−==≠0,故A错误;46122对于�:不妨令�2≤�3≤�4≤�5,因为4×0.6=2.4,则�2,�3,�4,�5的第60百分位数是�4;因为�1是最小值,�6是最大值,且6×0.6=3.6,故�1,�2,�3,�4,�5,�6的第60百分位数依然是�4,故B正确;对于�:C错误;对于�:设�2,�3,�4,�5中最小值为�2,最大值为�5,则�1≤�2,�5≤�6,则�5−�2≤�6−�1,故D正确;故选BD.10.已知��>��,则下列不等式一定成立的有()A.1<1B.�−�>1C.�2023>�2023�2�2�D.lg�−�>1【答案】BC【解析】由��>��得�>�.第4页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},11A.令�=1,�=−1,则=,故选项A错误;�2�2B.因为�>�,所以�−�>0,所以��−�>�0=1,故选项B正确;C.因为�(�)=�2023为�上递增函数,由�>�得�2023>�2023,故选项C正确;D.由�−�>0得lg(�−�)∈�,故选项D错误.故选BC.11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字,,,连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字,记事件为“第一次向下的数字为或”,事件为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列结论正确的是()A.B.事件与事件互斥3C.事件与事件相互独立D.PA∪B=4【来源】教材习题改编【答案】CD【解析】依题意,抛掷正四面体木块,第一次向下的数字有,,,四个基本事件,则,不正确;事件含有的基本事件有个:,其中事件发生时,事件也发生,即事件,可以同时发生,不正确;抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有个,,即事件与事件相互独立,C正确;,正确.故选C.12.如图,在边长为4的正方形????????中,点�是????的中点,点�是��的中点,点�是????上的动点,将∆????�,∆????�分别沿��,��折起,使�,�两点重合于点�,则下列结论正确的是()A.��⊥��2B.�到平面���的距离为36C.若��∥面���,则二面角�−��−�的余弦值为3D.四面体�−���外接球表面积为24�【来源】源于教材,选项改编【答案】ACD.【解析】A项:连��,��可知��⊥��.又因为��⊥��,��⊥��,��∩��=�,所以��⊥面���,所以��⊥��.又因为��∩��=�,所以��⊥面���,所以��⊥��,故A项正确;第5页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},1B项:因为��=��=2,��=22,所以∆���为��∆���,所以��⊥��,故????−���=×2×2×31821112×4=3.又因为�∆���=�正方形????????−�∆���−�∆????�−�∆????�=4−2×2×2−2×2×4−2×3�842×4=6,故�到面���的距离�===(等体积法),故B项错误;�∆���63C项:令��∩��=�,连��,��.因为��∥面���,��⊂面���,面���∩面���=��,所以��=1,��=3.又因为��⊥面���,所以��⊥��,��⊥��,所以∠���即为二面角�−��−�的平面角.又因为��⊥面���,所以��⊥��,故在��∆���中,��=��2+��2=1+2=3.又��2+��2−��23+18−96因为��=32,故在∆���中,由余弦定理的推论:cos∠���===,故2��∙��2∙3∙3236二面角�−��−�的余弦值为,C项正确;3D项:由于��,��,��两两互相垂直,不妨将三棱锥�−���放置于一个长宽均为2、高为4的长22+22+42方体中,其外接球半径�==6,故其表面积�=4��2=24�,D项正确;故选ACD.2三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.�1013.已知????�(�+)=−,则sin2�=.410【来源】改编2009年湖南省高考真题4【答案】5�2�44【解答】sin2�=−cos(2�+)=1−2cos(�+)=,故答案为.245514.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点,构成一个正八面体,那么这个正八面体的表面积是.【来源】教材改编【答案】3.232【解析】由正方体的棱长为1易得正八面体的棱长为,故其表面积�=8×�=3,故答24案为3.第6页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},15.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球,其中有3个红色球、2个绿色球,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则两个球颜色相同的概率为.【来源】教材习题改编2【答案】5【解析】用1、2、3表示3个红色球,4、5表示2个绿色球,用数组�,�表示可能的结果,�是第一次摸到球的标号,�是第二次摸到球的标号,则样本空间所包含的样本点为:1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,共20个.其中两个球颜色相同的事件有:1,2,1,3,2,1,2,3,3,1,3,2,4,5,5,4,共8种,故所82求事件的概率为=.20516.在△????�中,��=(2�,�+5),��=(cos�,sin�),(�∈�,�∈�),若对任意的实数�,|��−���|⩾|��−��|恒成立,则��边的最小值是.【来源】改编2021年江浙地区月考题【答案】19【解答】设��=���,如图,∵对任意的实数�,|��−���|≥|��−��|恒成立则|��−���|=|��−��|=|��|≥|��|恒成立,∴��⊥��,∵��=(2�,�+5),��=(cos�,sin�),∴|��|=5(�+1)2+20,|��|=1,22∴|��|=��−��⩾20−1=19,故答案为19.三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图,在四棱锥�−????????中,底面????????为正方形,侧面????�是正三角形,侧面????�⊥底面????????,�是��的中点.(1)求证:��⊥平面????�;(2)求直线��与底面????????所成角的正弦值.【解析】(1)∵侧面????�为正三角形,�为��中点,∴��⊥��.......1分又底面????????为正方形∴????⊥????........2分又面????�⊥面????????且面????�∩面????????=????,∴????⊥面????�,∴????⊥��.又????∩��=�,∴��⊥面????�.........5分(2)取????的中点�,连��,��.同(1)理:��⊥面????????,则∠????�是所求直线与平面所成角.......6分第7页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},不妨设????=2�,则在正∆????�中,��=3�;在��∆????�中,��=��2+????2=5�;在��∆���中,��=22�.......8分��3�6故sin∠????�===,......9分��22�46所以直线��与底面????????所成角的正弦值为....10分418.已知在△????�中,�+�=2�,2sin�−�=sin�.(1)求sin�;(2)设�=27,求△????�的面积.【来源】改编2023年新高考一卷T17�【解析】(1)∵�+�=2�,�+�+�=�∴�=........................1分3又∵2���(�−�)=��????=���(�−�−�)=���(�+�)∴2sin�cos�−cos�sin�=sin�cos�+cos�sin�133∴sin�cos�=3cos�sin�,即sin�=cos�,......................3分2222�33321又sin�+cos�=1且�∈0,,解得:sin�==........6分22814321173212因为sin�=sin�+�=×+×=,.........8分1421427�����27由正弦定理==,代入得321=21=3,∴�=6,�=4;.....10分sin�sin�sin�1472113故�△????�=��sin�=×6×4×=63.................12分22219.2��已知向量�=(4sin−1,cos(−�)),�=(1,2),记函数�(�)=�⋅�.23(1)求使函数�(�)⩽0成立的�的取值集合;�1312(2)已知�,�均为锐角,�(�+)=,sin(�−�)=−,求sin(2�−�)的值.6513【来源】改编2022年江苏省、安徽省月考卷,第一小问源于教材P255复习参考题5T21(3)【解析】(1)由�(�)=�⋅�知,�����(�)=4sin2−1+2cos(−�)=2(1−cos�)−1+2(cos�cos+sinsin�)233331�=1−cos�+3sin�=1+2(sin�−cos�)=2sin(�−)+1,.......3分226�15����(�)⩽0⇔���(�−)⩽−⇔−+2��⩽�−⩽−+2��,�∈�,62666第8页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},2�解得�∈[−+2��,2��],�∈�;....................6分3�134(2)�(�+)=2sin�+1=,∴sin�=,655�3因为�∈(0,),所以cos�=1−sin2�=,.......8分25���5因为�∈(0,),所以�−�=(−,),所以cos(�−�)=1−sin2(�−�)=,.10分22213所以sin(2�−�)=sin[(�−�)+�]=sin(�−�)cos�+cos(�−�)sin�1235416=−×+×=−.........12分1351356520.某地区为了解市民的心理健康状况,随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查,将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理,得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有人.心理测评评价标准调查评分心理等级1求的值及频率分布直方图中的值;2该地区主管部门设定预案:若市民心理健康指数的平均值不低于,则只需发放心理指导资料,否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据,判断该市是否需要举办心理健康大讲堂,并说明理由.每组的每个数据用该组区间的中点值代替,心理健康指数调查评分3在抽取的心理等级为的市民中,按照调查评分的分组,分为层,通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导.据以往数据统计,经心理疏导后,调查评分在的市民的心理等级转为的概率为,调查评分在的市民的心理等级转为的概率为,假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立,求在抽取的人中,经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率;【答案】1由已知条件可得,1分又因为每组的小矩形的面积之和为.所以,解得;.......3分第9页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},2由频率分布直方图可得,.估计市民心理健康调查评分的平均值为,所以市民心理健康指数平均值为.所以只需发放心理指导材料,不需要举办心理健康大讲堂活动...............6分3由1知:,则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的,若按分层抽样抽取人,则调查评分在中有人,在中有人,.....8分设事件“在抽取的人中,经心理疏导后恰有一人的心理等级转为”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立,1223123214所以�(�)=××+××+××=....................11分43343343394故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率为.........12分921.如图,在棱长为3的正方体????????−�'�'�'�'中,�为????的中点.(1)求证:��'∥平面���';(2)在体对角线��'上是否存在动点�,使得��⊥平面���'?若存在,求出��的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:连接????',交��'于点�,连接��.因为四边形????�'�'是正方形,所以�是????'的中点,...1分又�是????的中点,所以��∥��'....3分因为��⊂面���',��'⊄面���',所以��'∥面���'....5分(2)在对角线��'上存在点�,且��=3,使得��⊥平面���'.6分证明如下:因为四边形????�'�'是正方形,所以????'⊥��'.因为????⊥平面????�'�',��'⊂面????�'�',所以????⊥��'.因为????'∩????=�,所以��'⊥平面????�'....8分因为��'⊂平面���',所以平面���'⊥平面????�'.作��⊥��'于�,因为��∥��',所以��⊥��.因为��⊂平面????�',平面????�'∩平面���'=��,所以��⊥平面���'.......10分第10页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},????29由��∆????�'∼��∆????�,得��===3......11分��'33所以当��=3时,��⊥平面���'.......12分22.(本小题12.0分)设函数�(�)的定义域为�,对于区间�=[�,�](�<�,�⊆�),若满足以下两条性质之一,则称�为�(�)的一个“�区间”.性质1:对任意�∈�,有�(�)∈�;性质2:对任意�∈�,有�(�)∉�.(1)分别判断区间[1,2]是否为下列两函数的“�区间”(直接写出结论);4①�=3−�;②�=;�(2)若[0,�](�>0)是函数�(�)=−�2+2�的“�区间”,求�的取值范围;(3)已知定义在�上,且图象连续不断的函数�(�)满足:对任意�,�∈�,且�<�,有�(�)−�(�)>�−�.求证:�(�)存在“�区间”,且存在�0∈�,使得�0不属于�(�)的任意一个“�区间”.【解析】(Ⅰ)①是(满足性质1).②不是;......2分(2)记�=[0,�],�={�(�)|�∈�},易知�(0)=0∈[0,�],故若�为�(�)的“�区间”,则不满足性质②,必满足性质①,即�⊆�;.......3分�(�)=−�2+2�=−(�−1)2+1,当0<�<1时,�(�)在[0,�]上单调递增,且�(�)−�=−�2+2�−�=−�(�−1)>0,即�(�)>�,所以�=[0,�(�)]不包含于�=[0,�],不合题意;当1≤�≤2时,�=[�(0),�(1)]=[0,1]⊆[0,�]=�,符合题意;当�>2时,�(�)<�(2)=�(0)=0,所以�(�)∉�,不合题意;.......5分综上可知,�∈[1,2];......6分(3)证明:对于任意区间�=[�,�](�<�),记�={�(�)|�∈�},由已知得�(�)在�上单调递减,故�=[�(�),�(�)],因为�(�)−�(�)>�−�,即�的长度大于�的长度,故不满足性质①,所以若�为�(�)的“�区间”,必满足性质②,这只需�∩�=⌀,即只需�(�)<�或�(�)>�.�(�)=�显然不恒成立,所以存在常数c使得��≠�.如�(�)<�,取�=�,区间�=[�,�](�<�)满足性质②;如��>�,取�=�,区间�=[�,�](�<�)满足性质②;综上,�(�)一定存在“�区间”;......9分第11页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#},记�(�)=�(�)−�,则�(�)图象连续不断,下证明�(�)有零点:因为�(�)在�上是减函数,所以�(�)在�上是减函数,记�(0)=�;若�=0,则�0=0是�(�)的零点,若�>0,则�(�)<�(0)=�,即�(0)>0,�(�)<0,由零点存在性定理,可知存在�0∈(0,�),使得�(�0)=0,若�<0,则��>�(0)=�,即�(�)>0,�(0)<0,由零点存在性定理,可知存在�0∈(�,0),使得�(�0)=0,综上,�(�)有零点�0,即�(�0)=�0,............11分因为�(�)的所有“�区间”�都满足性质②,故�0∉�.(否则��0=�0∈�,与性质②不符)即�0不属于�(�)的任意一个“�区间”,证毕..........12分第12页,共12页{#{QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=}#}

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-08-08 10:39:12 页数:12
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文章作者:saadada

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