吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

东北师大附中2022-2023学年上学期期末考试高一年级数学学科试卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟.一、单选题（共8题，每题4分，共32分）1.下列函数是奇函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数的定义可判断选项正误.【详解】对于A，定义域为，，其为偶函数，故A错误；对于B，其定义域为，其为非奇非偶函数，故B错误；对于C，定义域为，，其为偶函数，故C错误；对于D，定义域为，，其为奇函数，故D正确.故选：D2.已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接代入弧长公式计算即可.【详解】该圆心角所对弧长为.故选：A.3.函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由零点存在性定理得到答案. 【详解】，，，为连续函数，且单调递增，由零点存在性定理得：的零点所在区间为.故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式值.【详解】.故选：D.5.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解.【详解】要使函数有意义，则有，解得：或，所以函数的定义域为.令，开口向上，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，由复合函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，故选：.6.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦函数的单调性比较a与b的大小，再由商数关系和余弦函数的值域比较b和c，即可.【详解】因为在上单调递增，所以，即.又因为，所以.综上：.故选：C.7.已知，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以.则.故选：A.8.已知函数，若存在实数，，，（）满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可.【详解】由得，，由得，，对应函数图像如图所示， 若，则，A错；，关于对称，，B错；由，，得，即，C对；由，得(),，D错.故选：C二、多选题（共4题，每题4分，共16分）9.下列等式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由对数运算法则和三角恒等变换逐个计算判断即可. 【详解】A选项，，A不正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.10.若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（）A.B.[2，4.5]C.[6，7.5]D.[10，10.5]【答案】AC【解析】【分析】根据正弦函数的单调增区间可知：，解之，赋值即可求解.【详解】因为函数在区间上单调递增，，则，所以，，解得：，令，因为，所以，故选项正确；令，则，故选项正确；故选：.11.已知函数y=f（x）是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x∈[0，2）时，f（x）=2x-1，给出下列结论，其中正确的是（）A.f（2）=0 B.点（4，0）是函数y=f（x）的图像的一个对称中心C.函数y=f（x）在（-6，-2）上不具有单调性D.函数y=f（x）在[-6，6]上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】对于A项，令求得；对于B项，只需验证成立.对于C项，根据B项得到周期为4，转化到（-2，2）上的单调性对于D项，根据周期和奇函数求得.【详解】当时，，所以函数y=f（x）是上的奇函数，所以，故，所以A正确.因为①，所以②令①式中的为得：，又因为函数y=f（x）是上的奇函数，所以，故③②③联立可得，故B正确.因为，所以函数是以为周期的周期函数.函数y=f（x）在（-6，-2）上的单调性，与y=f（x）在（-2，2）上的单调性相同画出在上的图像为：故函数函数y=f（x）在（-6，-2）上的单调递增，所以C不正确.因为函数y=f（x）是上的奇函数，所以 又由A项，所函数y=f（x）在[-6，6]上有7个零点故D不正确.故选：AB12.函数的定义域为I，若存在，使得，则称是函数的二阶不动点，也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据定义依次计算每个选项得到A选项有一个解，B选项有无数个解，根据函数和函数图像无交点得到C不满足，再判断D选项有唯一解得到答案.【详解】，定义域为，，解得，A满足；，定义域为，，恒成立，B不满足；，定义域为，，即，根据函数和函数图像无交点，知方程无解，C不满足；，定义域为，，易知，且是方程的解，当时，，方程无解；当时，，方程无解，D满足.故选：AD三、填空题（共4题，每题4分，共16分）13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【详解】由，得，解得，又， ∴∴函数的定义域为．答案：14.已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质求出当时的解析式即可求解.【详解】当，时，因为函数为偶函数，所以，即时，，因为，所以，故答案为：215.设函数的值域是，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】由，得到，再根据其值域求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，故答案为：16.若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a，b，cÎI，均有f(a)，f(b)，f(c)也能够成三角形三边长，则m最大值为_____. 【答案】##【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.【详解】在上严格增，所以，不妨设，对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，所以，因为，所以，对任意都成立，所以，所以，所以，所以，所以m的最大值为．故答案为：.四、解答题（共56分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P，，且β是第一象限角，求：和的值.【答案】，【解析】【分析】先利用题给条件求得，，，，再利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.【详解】角α的终边与单位圆交点为P，则，由，且β是第一象限角，可得， 则18.已知函数.（1）求函数的单调递增区间.（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦函数的性质求解即可；（2）利用可得，两边平方即可求得答案【小问1详解】由可得，解得，所以函数的单调递增区间是【小问2详解】由题意可得，所以，两边平方可得，所以 19.已知函数.（1）设函数是定义域在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式.（2）设不等式解集为M，当时，函数（其中）的最小值为，求实数a的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）由奇函数性质求得，的解析式，即可得的解析式.（2）由指数函数单调性解指数不等式得M，化简，令将原命题等价为的最小值为，根据二次函数性质列式求解即可.【小问1详解】是定义域在R上的奇函数，当时，.当时，，则.当时，.故函数的解析式为.【小问2详解】由得，即，解得，故，令，则原命题等价于（其中）的最小值为，则当时，，解得（）.故实数a的值为1. 20.A第公交公司的某路公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N，经测算，该路公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足，其中t∈N.（1）求p(5)，并说明p(5)的实际意义.（2）该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟净收益最大？并求每分钟最大净收益.【答案】（1）35；发车时间间隔为5分钟，载客量为35（2）6分钟，最大净收益38元【解析】【小问1详解】．实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．【小问2详解】，当时，，任取，则，，所以，，，，所以，函数区间上单调递增，同理可证该函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最大值；当时，，该函数在区间上单调递减，则当时，取得最大值．综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．21.已知函数. （1）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）的最小正周期是π，求ω的值.（2）若，且方程在上有实数解，求实数α的取值范围.【答案】（1）ω=2（2）【解析】【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式以及周期的计算方法即可求解；（2）将函数化简后根据三角换元，正弦函数的单调性和对号函数的性质即可求解.【小问1详解】，.的最小正周期为，所以，所以.【小问2详解】,在上有实数解,即在上有实数解,即在上有实数解,令， 所以，由，所以，所以，所以，同时，所以，所以在上有实数解等价于在上有解，即在上有解，①时，无解；②时，有解，即有解，即在有解，令，所以的值域为，所以在有解等价于.22.已知函数的图像过点，.（1）求函数的解析式.（2）设，若对于任意的，都有，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）m取值范围.【解析】【分析】（1）由已知求得，，代入即可得到，；（2）已知可转化为，即转化为求在上的最大值，由已知可得，，根据二次函数的性质可知所以的最大值在或处取得.作差可得.即可得到，.令，根据定义法证明在时的单调性，根据单调性求解不等式，即可求出m的取值范围.【小问1详解】由已知可得，，所以，所以，定义域为.所以有，，；【小问2详解】若对于任意，都有，只需满足成立.由（1）知，，对称轴为.由，可得，，所以，即有.根据二次函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值在或处取得.又，，， 又，所以，所以，所以.由成立，可得，，即，.令，，则原不等式等价于.，且设，则，因为，，所以，，，所以，所以，所以.所以，所以，所以在上单调递增.又，则由，可解得.【点睛】关键点睛：利用单调性的定义证明函数的单调性是解题的关键.