安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2022-2023学年第一学期高一年级教学质量诊断测试数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由图可得阴影部分表示，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为，因为，所以或，，故选：A2.若函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，解不等式即可得出定义域.【详解】要使函数有意义，则， 则，解得：或，所以函数的定义域为，故选：B3.若命题“，”为真命题，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可.【详解】由已知，，则，即，所以的取值范围是.故选：C.4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得，，，所以，故选：A5.设是定义域为的奇函数，且，若，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以由，函数该函数的周期为，，故选：B6.若，则（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】，，故选：D7.设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，的值为（）A.0B.1C.D.4【答案】A【解析】【分析】根据二次函数分析可得，换元令，整理得 ，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：，即，且的对称轴为，故，令，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，即当时，取最小值2.故选：A.8.已知锐角，满足，设，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合基本不等式分析可得，对A：结合两角和的正切公式分析可得，即可得；对B：由，结合正弦函数单调性以及诱导公式可得；对C：由，结合对数函数的单调性分析判断；对D：根据选项B、C的思路，先证，再结合对数函数的单调性分析判断.【详解】因为为锐角，则均为正数，即， 又∵，当且仅当，即时等号成立，结合，可得，即，对A：∵，则，且，∴，A项不正确；对B：∵，则，注意到，则，且在上单调递增，∴，B错误；对C：由，则在定义域内是减函数，且，所以，C正确；对D：∵，则，注意到，则，且在上单调递增，∴，结合在定义域内是减函数，则，D不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：对于锐角，，则有：（1）若，则； （2）若，则；（3）若，则；此结论在三角形中应用较多.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列说法正确的是（）A.，则的最小值是2B.，则的最小值是C.，则的最小值是1D.最小值为9【答案】BD【解析】【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.【详解】对于A,令，则，由对勾函数知，在单调递增，在上单调递减；所以当时，，当时，，故A错误；对于B，令，则，，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故B正确； 对于C，令，则，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故C错误；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故D正确.故选：BD.10.下列命题中正确的是（）A.命题：“，”的否定是“，”B.函数（且）恒过定点C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数，则【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.【详解】A选项，“”的否定是“”，A错误；B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确；C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确；D选项，，且，故，D正确.故选：BCD. 11.已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（）A.直线是的对称轴B.是的对称中心C.D.不等式的解集为【答案】AD【解析】【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误；又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，故选：AD．12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B关于点对称 C.在上单调递增D.若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】由题意可得：，对A：函数的图象向左平移个单位长度，得到，∵关于轴对称，即为偶函数，则，则，注意到，则，故的最小正周期为，A正确；对B：由A可知：，由，则是的对称中心，B正确；对C：令，解得，故的递增区间为，令，且，可得， 故在上单调递增，在上单调递减，C错误；对D：∵，则，若在区间上存在最大值，则，解得，即实数的取值范围为，D正确.故选：ABD.【点睛】方法定睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．（2）整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________．【答案】【解析】【分析】由，知，即时，，由此能求出点的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.【详解】，，即时，∴点的坐标是由题意令， 图象过点得解得：故答案为：.【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.______.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.【详解】.故答案为： 15.已知正数满足，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】首先将条件变形为，再利用“1”妙用，结合基本不等式求的最小值.【详解】因为，所以，，所以，当，即，即，时等号成立，所以的最小值是.故答案为：16.若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由原方程可得或，从而得到和与的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.【详解】由，得或，因为关于的方程有6个不同的解，所以和与的图象共有6个不同的交点， 由图可知，解得，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题：（本题共6小题，70分.）17.设全集是，集合．（1）若，求实数a的取值范围；（2）条件，条件，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分和讨论，特别是时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；（2）根据q是p的充分不必要条件得到Ü，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.【小问1详解】若,当时，，解得，当时，，解得，综合得【小问2详解】条件，条件，若q是p的充分不必要条件，则Ü，且等号不能同时成立，解得 18.已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【小问1详解】因为为锐角，，所以，则；【小问2详解】由于，为锐角，则，又，所以.19.已知函数（1）若，求函数的最小值；（2）解不等式.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可. 【小问1详解】因为函数对称轴为，所以ⅰ）当，即时，，ⅱ）当，即时，；【小问2详解】由，可得，即，所以所以ⅰ）当时，不等式的解集为，ⅱ）当时，不等式的解集为，ⅲ）当时，不等式的解集为.20.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）若方程有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质，得到关于的方程，由的任意性可求得的值；（2）先将问题转化为方程有解，再利用换元法将问题转化为与在上有交点，从而得解.【小问1详解】因为，在上恒成立，所以的定义域为，又因为是偶函数，所以，有， 即对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，因为不恒为0，所以.【小问2详解】由（1）得，则方程有解，即方程有解，又因为对数函数在上单调递增，所以方程有解，令，则，方程化为，即方程在上有解，令，则与在上有交点，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即..21.已知函数的部分图象如图所示. （1）写出函数的解析式；（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的单调递增区间.【答案】（1）（2）和.【解析】【分析】（1）根据的图象，依次求得的值，从而求得.（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据三角函数单调区间的求法求得的单调递增区间.【小问1详解】由图可知，，则，由，得，,由于，所以，则.【小问2详解】 图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，当时，，所以当以及时函数单调递增，即单调递增区间为和.22.已知函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，且称是函数的“跃点”.（1）求证：函数是“1跃点”函数；（2）若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；（3）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上有2023个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）或，；，；【解析】【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得到，然后依据或，，或，分类讨论求解即可.【小问1详解】，所以，，令，因为，，所以由零点存在定理可得在有解，所以存在，使得，即函数是“1跃点”函数.【小问2详解】由题意得，因为，所以，当且仅当取等号，所以的取值范围为.【小问3详解】，即，令，即在上关于要有2023个解；①当或时，即或时，；②当，即时，； ③当或，即或时，方程关于在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，综上，或，；，.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.