吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三数学下学期二模试题（Word版附答案）

2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷一、单项选择题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．i为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（）A．B．C．D．3．已知向量，，若与方向相反，则（）A．54B．48C．D．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列的和为（）A．30014B．30016C．33297D．332995．一个圆雉的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆雉的内切球師表面积为（）A．B．C．D．6．已知，，，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．7．直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（）A．B．C．1D．58．函数的部分图象如图，轴，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（） A．B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（）A．B．时，C．D．10．已知数列，，，的前项的和为，前项的积为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（）A．若，且，则四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C．若的外心为，则为定值2 D．若，则点的轨迹长度为12．已知函数，，其中且．若函数，则下列结论正确的是（）A．当时，有且只有一个零点B．当时，有两个零点C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线D．若为单调函数，则三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．若，则______．14．如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．15．已知函数，若实数a，b满足，则的最大值为______．16．在平面直角坐标系中，已知动圆的方程为，则圆心的轨迹方程为____________．若对于圆上的任意点，在圆：上均存在点，使得，则满足条件的圆心的轨迹长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）如图，四边形中，，，，设． （1）若面积是面积的4倍，求；（2）若，求．18．（本小题12分）已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求的值．19．（本小题12分）已知函数，其中．（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．20．（本小题12分）如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．（1）证明：；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．21．（本小题12分）已知圆M：，P是直线l：上的动点，过点P作圆M的一条切线，为切点．（1）当时，求点的坐标； （2）设的外接圆为圆，当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（本小题12分）已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）已知在区间上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性．2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷答案一、选择题123456789101112BADCCABAACBCDABBCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．14．；15．16．；．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．解：（1）设，则，，，由题意，则，所以．（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化简得，所以． 18．解：（1）由得到，当时，，两式相减，有，得到，由于，，因为，由上述递推关系知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（2）由（1），所以数列的前项和为，则，所以．19．解析：（1）若，则，，，令，得．当时，；当时，．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．不存在极大值；存在极小值，且极小值为．（2），．①若，即，则令，得． 当时，；当时，．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．②若，即，则令，得或．此时，的单调性如下表所示：x1+0-0+单增极大值单减极小值单增③若，则当时，，当且仅当时，等号成立．此时，在区间上单调递增．④若，即，则令，得或．此时，的单调性如下表所示：x1+0-0+单增极大值单减极小值单增综上：时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；时，在区间上单调递增时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；20．解：（1）连接，设的中点为， ∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，为等边三角形，∴，，折叠后，，又，∴平面，又平面，∴（2）在平面内作平面，垂足为，则在直线上，∴直线与平面夹角为，又，∴，∴O，Q两点重合，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，即，令得，又平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．21．解：（1）由题可知圆的圆心为，半径．设，因为是圆的一条切线，所以．在中，，故．又所以，解得或．所以点的坐标为或．（2）因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，即．由，解得或，所以圆过定点和．22．解析：（1）若，则，，，．所以，曲线在点处的切线方程为．（2）（i）．①若，则，在区间上单调递减，不存在极值点． ②若，则当时，，从而．由函数的图象及性质，，使得，即．当时，，从而；当时，，从而．所以，在上单调递增，在上单调递减，在上不存在极小值点．③若，则当时，，从而．由函数的图象及性质，，使得，即．当时，，从而；当时，，从而．所以，在上单调递减，在上单调递增．此时，为在区间上的唯一的极小值点．综上所述，实数的取值范围为．（ⅱ）由（ⅰ），，在上的唯一的极小值点满足：且．由此，．令函数，，则，且． 所以，在区间上单调递减．下面证明函数在区间上单调递减．对于任意的，设当和时，在上的极小值点分别为，，则，，且，．由及函数在上单调递增，有．又由在区间上单调递减，有．综上，对于任意的，均有，即在区间上单调递减．