初中数学知识总结专题02 整式的运算（教师版）

专题02整式的运算专题知识回顾1．同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2．幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法则可以逆用：即3．积的乘方法则：（是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。4．同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。5．零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a≠0）6．负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数)。7．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。8．单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)。9．多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。10．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即11．完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab12.完全平方差公式8,：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。即：（a-b）2=a2+b2-2ab完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。13．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。14．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。15．添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号。专题典型题考法及解析【例题1】（2019湖南衡阳）下列各式中，计算正确的是（　　）A．8a﹣3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a3【答案】D．【解析】A.8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B.（a2）3＝a6，故选项B不合题意；C.a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；D.a2•a＝a3，故选项D符合题意．【例题2】（2019四川省雅安市）化简x2-(x+2)(x-2)的结果是___________.【答案】4【解析】先根据平方差公式计算，后做减法，x2-(x+2)(x-2)=x2-(x2-4)=4，故答案为4．【例题3】（2019•泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（　　）A．﹣1B．1C．2D．3【答案】B．【解析】4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝﹣2a+3b8,＝﹣（2a﹣3b）＝1专题典型训练题一、选择题1.（2019贵州遵义）下列计算正确的是（）(A)(a+b)2=a2+b2(B)-(2a2)2=4a4(C)a2+a3=a5(D)【答案】D【解析】选项A少了乘积的2倍，选项B少了负号，选项C不是同类项不能合并，选项D同底数幂的除法，底数不变指数相减。所以选D2．（2019湖南怀化）单项式﹣5ab的系数是（　　）A．5B．﹣5C．2D．﹣2【答案】B.【解析】单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．3．（2019湖南株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y5【答案】C．【解析】A.2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C.﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D.﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误。4.（2019贵州黔西南州）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）A．2B．1C．﹣1D．0【答案】A【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得m＝2．故选：A．5.（2019黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（）A．B．8,C．D．【答案】D【解析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；2a+2a＝4a，A错误；a2•a3＝a5，B错误；（2a2）3＝8a6，C错误；故选D．6．（2019湖南娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．（x3）3=x9C．x2+x2=x4D．x6÷x3=x2【答案】B．【解析】A.x2•x3=x5，故原题计算错误；B.（x3）3=x9，故原题计算正确；C.x2+x2=2x2，故原题计算错误；D.x6÷x3=x3，故原题计算错误。7.（2019年广西柳州市）计算x(x2－1)=()A．x3－1B．x3－xC．x3+xD．x2－x【答案】B【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，x(x2－1)=x3－x，故选B．8.（2019黑龙江省龙东地区）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2＋2a2＝3a4B．b10÷b2＝b5C．（m－n）2＝m2－n2D．（－2x2）3＝－8x6【答案】D【解析】根据整式的运算法则及乘法公式逐个判断即可.对于A，a2＋2a2＝3a3；对于B，b10÷b2＝b8；对于C，（m－n）2＝m2－2mn+n2；对于D，（－2x2）3＝－8x6.可见，A,B,C三个选项均错误，D正确，故选D.9.（2019四川省雅安市）下列计算中，正确的是（）A．a4+a4=a8B．a4·a4=2a4C．(a3)4·a2=a14D．(2x2y)3÷6x3y2=x3y【答案】C【解析】直接利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简，A中应为2a4，不正确，B中应为a8，不正确，C中(a3)4·a2=a12·a2=a14，正确，D中(2x2y)3÷6x3y2=8x6y3÷6x3y2=x3y，不正确，故选C．8,10.（2019•山东省聊城市）下列计算正确的是（　　）A．a6+a6＝2a12B．2﹣2÷20×23＝32C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20【答案】D【解析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．A.a6+a6＝2a6，故此选项错误；B.2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；C.（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，故此选项错误；D.a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20，正确．11.（2019•山东省滨州市•3分）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（　　）A．4B．8C．±4D．±8【答案】D【解析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．由8xmy与6x3yn的和是单项式，得m＝3，n＝1．（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．12.（2019•黄石）化简（9x﹣3）﹣2（x+1）的结果是（　　）A．2x﹣2B．x+1C．5x+3D．x﹣3【答案】D．【解析】原式＝3x﹣1﹣2x﹣2＝x﹣3二、填空题13.（2019江苏常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．8,14．（2019湖南怀化）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　．【答案】9a2．【解析】原式＝（4+6﹣1）a2＝9a215.(2019黑龙江大庆,)a5÷a3＝________.【答案】a2【解析】同底数幂的除法a5÷a3＝a5－3＝a216．（2109湖南怀化）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于　　．【答案】﹣5．【解析】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣517.(2019黑龙江绥化)计算:(－m3)2÷m4＝________.【答案】m2【解析】幂的乘方,同底数幂的除法(－m3)2÷m4＝m6÷m4＝m2.18．（2019湖南岳阳）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为　　．【答案】1．.【解析】解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．19.（2019年广西柳州市）计算：7x－4x=___________．【答案】3x【解析】根据合并同类项的法则计算，7x－4x=3x，因此本题填3x．三、解答题20.（2019吉林长春）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中【答案】见解析。【解析】本题主要考查了整式的混合运算，直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．8,原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，当时，原式=8a+1=2．21.（2019吉林省）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=【答案】5【解析】整式的运算。将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1,当a=时，原式=22．（2019湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　　，第5项是　　．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（　　）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？【答案】（1）5，25；（2）n﹣1；（3）﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数8,列的第2019项．【解析】（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……∴an＝a1+（n﹣1）d故答案为：n﹣1．（3）根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．8