专题02 圆锥曲线中的面积问题(教师版)

专题02圆锥曲线中的面积问题一、单选题1．直线经过抛物线的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则的面积的最小值是（）A．B．4C．D．6【答案】B【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线：，与抛物线方程联立求出两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.【详解】由抛物线可知，所以，准线为，依题意设直线：，代入得，设，则，，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选：B【点睛】关键点点睛：利用两点的纵坐标之差的绝对值表示是本题解题关键.57 2．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式，即可求解.【详解】由题意知：，为椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，所以是焦点三角形，且，，所以，故选：B3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，.由57 ，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.【详解】，所以，，，在双曲线上，设，，①由，在根据余弦定理可得:故②由①②可得，直角的面积故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.4．已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（）57 A．B．C．D．【答案】B【分析】由余弦定理得，得到，可求得面积，再由可得答案.【详解】，，由题意得，，由余弦定理得，得，，设内切圆的半径为，则，所以.故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.57 5．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．9【答案】B【分析】首先设，，利用点差法得到，从而得到直线.联立直线与抛物线，利用根系关系得到，再求的面积即可.【详解】由抛物线，得，设，，由题知：，即.由题意知：，所以，故直线.联立得：.所以，.57 故.所以.则的面积为.故选：B.【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足(为坐标原点)，下列说法正确的有（）A．双曲线的虚轴长为B．双曲线的离心率为C．双曲线的一条渐近线方程为D．三角形的面积为【答案】BD【分析】57 根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线的焦点在圆上，所以双曲线的半焦距为，由可得其渐近线方程为，因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，又，，所以，即，整理得，又点在圆上，所以，由解得，即，又点在渐近线上，所以，由解得，因此双曲线的方程为；所以其虚轴长为，故A错；57 离心率为，故B正确；其渐近线方程为，故C错；三角形的面积为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.7．已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（）A．73B．76C．68D．72【答案】ABD【分析】设，求出，求出的坐标和的最小值，得到的面积的最小值，即得解.【详解】设，则．设，则，57 直线的方程为，则点M的坐标为，直线的方程为，则点N的坐标为．所以，当且仅当，即时等号成立．从而面积的最小值为.故选：ABD．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.8．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的离心率为；57 B．若，则的面积为；C．的最小值为2；D．双曲线与C的渐近线相同.【答案】ABD【分析】由题知，双曲线方程，，再利用双曲线离心率，双曲线渐近线方程，点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A，因为，所以，则离心率为，故A正确；选项B，若，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，即，点到渐近线的距离为，则，所以的面积为，故B正确；选项C，的最小值就是点F到渐近线的距离，故C错误；选项D，它们的渐近线都是，渐近线相同，故D正确.故选：ABD.【点睛】57 关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有（）A．双曲线的渐近线方程为B．以为直径的圆方程为C．点的横坐标为D．的而积为【答案】AD【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项的正误；求得的值，可求得以为直径的圆的方程，可判断B选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点的坐标，可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】由双曲线方程知,，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错误；由得或，由得或.所以，点横坐标是，C错误；57 ，D正确．故选：AD．【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系.三、解答题10．已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）过点分别作直线、，交圆于、、、四点，且，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）设出经过圆和直线的圆系方程，利用圆心在直线上可求得结果；（2）当直线的斜率不存在时，可求出四边形的面积为，当直线的斜率存在时，设直线，则直线，利用几何方法求出和，求出四边形面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】（1）依题意可设圆的方程为，整理得，57 所以圆心，因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，，四边形面积为，当直线的斜率存在时，设直线，即，则直线，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，所以，，所以四边形面积为，令，则，所以，当，即时，取得最大值，此时四边形的面积的最大值为，当，即时，取得最小值，此时四边形面积的最小值为，综上所述：四边形面积的取值范围为【点睛】结论点睛：经过直线与圆的交点的圆系方程为.57 11．已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（1）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（2）记与的面积分别为和，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）同椭圆方程为，直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出的长．（2）当直线无斜率时，直线方程为，，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的最大值．【详解】解：（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，所以，所以椭圆方程为，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以直线方程为，和椭圆方程联立得到57 ，消掉，得到，所以△，，，所以线段的长．（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，，，面积相等，，当直线斜率存在（由题意知时，设直线方程为，设，，，，和椭圆方程联立得到，消掉得，△，方程有根，且，，此时时等号成立）所以的最大值为．【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．12．已知直线与抛物线交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B57 的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补．（Ⅰ）求k的值．（Ⅱ）求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设，利用斜率公式得到直线、、的斜率，根据直线、的倾斜角互补．得到，根据三角形的重心的坐标公式可得，从而可得；（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.【详解】（Ⅰ）设，则，同理可得，因为直线、的倾斜角互补，所以，即，又重心的纵坐标为，根据三角形的重心的坐标公式可得，所以，所以．57 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线，与抛物线方程联立，并整理得，其判别式，所以．而，因此，，又由（Ⅰ）知，，所以，所以，到直线的距离为，所以令，则恒成立，故在上单调递减，所以，故.【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为57 ，则三角形的重心的坐标为，②弦长公式：，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.13．已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上（异于椭圆左、右顶点），过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：；（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率的平方.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，求得点的坐标，求得点的坐标，通过计算得到，由此证得.（2）求得，由此求得三角形面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形面积的最小值，进而得出直线的斜率的平方.【详解】（1）证明：由题意得，点的坐标为，设.由，得，.57 即点坐标为.当时，可求得点的坐标为，，.故.（2）解：点在轴上方，，由（1）知；①当时，由（1）知，函数单调递增.②当，由（1）知，令57 则由当时，，此函数单调递增；当时，，此函数单调递减.函数即的最小值，此时，，解得.综上，当的面积最小时，直线的斜率的平方为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示出，按和分别将用表示，并构造函数求导判断单调性和最值，考查了学生分析解决问题的能力和运算求解能力，属于中档题.14．设F1，F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，且的周长为，（1）求椭圆C的方程；（2）过F2点且垂直于的直线与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.57 【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的周长为，可得，又椭圆的离心率为，即可得出结果；（2）分类讨论：当所在的直线斜率不存在时，此时四边形的面积为：；当所在的直线斜率存在且不为时，不妨设直线的方程为：，，直线的方程为：，分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得,利用四边形的面积，可得关于斜率的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果.【详解】（1）由的周长为，可得，又椭圆的离心率为，可得，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）又椭圆可得：，57 ①当所在的直线斜率不存在时，所在的直线斜率为，此时四边形的面积为：；②当所在的直线斜率存在时，由题意知所在的直线斜率不为，不妨设直线的方程为：，，则直线的方程为：，联立，化为：，由韦达定理得：，所以，把换成，可得，所以四边形的面积为：57 ，由，当且仅当时取等号；此时，综上：四边形ACBD面积的最小值为.【点睛】思路点睛：两条直线相互垂直，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.15．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.57 【答案】（1）；(2)①②【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求出椭圆方程；（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】(1),右顶点为，即抛物线的焦点,，故抛物线方程为，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，所以，，，椭圆的标准方程为：57 (2)①设，代入消元得：，设，，，又，同理可得②仍设，代入椭圆方程消元得：，即，，57 ，同理得，，（当且仅当时，等号成立），令，则，,对于，在上是增函数，当时，即时，，，面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.57 16．已知椭圆经过点，且短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知条件求出，，然后求解椭圆方程；（2）当，斜率一个为0，一个不存在时，；当，斜率都存在且不为0时，设，，，，，由求出的坐标，然后推出坐标，求解，，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）由题意知，，，解得，，故椭圆方程为：.（2）当，斜率一个为0，一个不存在时，，当，斜率都存在且不为0时，设，，，，，由消得，，57 ，得，，，，又，所以，综上，面积的取值范围为.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.17．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之差为.（1）求动点的轨迹的方程；57 （2）过点的直线与交于、两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）本题首先可以设动点，然后根据题意得出，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线斜率不存在时的情况，然后设直线方程为，通过联立方程并化简得出，则，，再然后根据得出，最后根据的面积为即可得出结果.【详解】（1）设动点，因为动点到直线的距离与到点的距离之差为，所以，化简可得，故轨迹的方程为.（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时，与只有一个交点，不符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程，化简得，，令、，则，，57 因为，所以，因为的面积为，所以，解得或，故直线的方程为：或.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.18．如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.（1）求证:点的纵坐标是定值；（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.57 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，面积最大值为.【分析】（1）由题意可得：，不妨设，则，代入抛物线方程，整理得，计算可得点的纵坐标值为，从而得证；（2）由题意可得：，求得直线的斜率，可求得直线的斜率和方程，不妨记，则，代入椭圆方程并整理得，设，，求得的值和点到直线的距离，进而根据三角形的面积公式和基本不等式可求的面积的最大值，即可求解.【详解】（1）易知，不妨设，则，代入抛物线方程得，得，∴，故点C的纵坐标为定值.（2）∵点C是AB的中点，，57 设直线的斜率为，则，所以直线的斜率为，∴直线的方程为，即，不妨记，则，代入椭圆方程并整理得，设，，则点到直线的距离，所以当且仅当时取等号，解得，所以，从而故当时，的面积最大.57 【点睛】关键点点睛：设出结合，可得利用点在抛物线上可求出，利用其计算的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线与直线的斜率互为相反数，直线的方程为，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.19．已知椭圆的左、右顶点分别为，.过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于的直线经过点，且交椭圆于不同的两点（在点之间）.记与的面积之比为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆性质结合通径运算即可得解；（2）设直线的方程为，，联立方程组结合韦达定理得，再由三角形的面积公式即可得解.57 【详解】（1）因为，所以即，设椭圆右焦点，当时，，所以，，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，则，由，整理可得，，解得，所以，，则，所以，57 所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将三角形的面积比转化为，结合韦达定理即可得解.20．已知双曲线的标准方程为，分别为双曲线的左、右焦点.（1）若点在双曲线的右支上，且的面积为，求点的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由双曲线方程可得，进而可得点的纵坐标，代入即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.【详解】（1）由题意，双曲线的焦距，设点，则，解得，代入双曲线方程可得，所以点的坐标为或；57 （2）由题意，，则直线，设，由，化简可得，则，，所以.21．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【分析】(I)利用离心率及直线y=1与C的两个交点间的距离，求出a，b，即可求椭圆C的方程;（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形面积的最大值.【详解】（Ⅰ）易知椭圆过点，57 所以，①又，②，③由①②③得，，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线，它与C的另一个交点为D.与C联立，消去x，得，.设交点则，，又到的距离为，所以.令，则，所以当时，最大值为3.57 又所以四边形面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：设直线，联立方程，消元后利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示三角形的面积，换元后由均值不等式可求出最值，找到四边形与三角形的关系即可解决，属于中档题.22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且的中点在线段（不包括端点）上.①求直线的斜率；②求面积的最大值.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用离心率，点代入椭圆方程，及，解方程即得参数a，b，即得方程；（2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线的斜率；设直线的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB的长度，再利用点到直线的距离公式计算的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可.【详解】解：（1）离心率，代入椭圆方程得，又，57 解得，故椭圆的方程是；（2）①点都在椭圆上，设，则，作差得，即，因为，，，即直线的斜率是；②设直线的方程是，联立椭圆得，由解得，且，故，又O到直线AB的距离为，故面积，当且仅当时，即时等号成立，故面积的最大值为.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；57 ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．23．已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为A，B．经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值为.【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线：，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出，，变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为，所以且，所以，所以椭圆方程为.（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为，所以斜率为1，直线的方程为，57 联立，消去并整理得，设，，则，，所以.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，设直线：，，，联立，消去并整理得，则，，所以异号，所以,当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.24．已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线57 和相交于点，的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用线段垂直平分线的性质得，再表示为椭圆定义，得到曲线方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，求得，再表示的面积求最值.【详解】（1）圆：的圆心为，半径为，点的垂直平分交于点∴在圆内，，所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得，所以曲线的方程为.（2）①设，，直线：，联立方程组得，57 由，解得，，，由知，且，代入化简得，解得，②(当且仅当时取等号).综上，面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题考查求曲线（椭圆）方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题，解题方法是：（1）求曲线方程采用定义法，利用几何关系表示椭圆的定义，即可得曲线方程．（2）直线与椭圆相交问题采取“设而不求”的思想方法，即设交点为，设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，本题的关键是求出，然后代入三角形面积，把面积转化为参数的函数后求解．25．如图，在平面直标中，椭圆过点.57 （1）求椭圆C的标准方程；（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点，求平行四边形ABCD面积S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的平行四边形，理由见解析.【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程得到方程组，解出方程即可得到答案.（2）设点的坐标为,可求出，则直线AB的方程为，点到直线AB的距离为，得出S的表达式，从而可得出答案.(3)假设存在满足条件的平行四边形，则，结合，分析解方程组是否有解，从而得出答案.【详解】57 解：（1）由题意有，解得故椭圆的标准方程为（2）设点的坐标为，有点A的坐标为，直线AB的方程为，整理为点到直线AB的距离为由，可知当时，平行四边形面积的最大值为（3）由（2）有，若存在满足条件的平行四边形，只需要方程组有解整理为上述方程组有解的问题化归为椭圆与圆是否有交点的问题由下图可知，57 椭圆和圆有两个交点，显然点为所示故存在满足条件的平行四边形.【点睛】关键点睛：本题中求四边形的面积的关键是选择一个合适的量将面积的目标函数表示出来，设,则，然后表示出直线AB的方程，由点到直线的距离求出高，即可表示出目标函数,(3)问中分析出方程组所表示的几何意义是关键，属于中档题.四、填空题26．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为________．【答案】【分析】求出△ABF1的周长和面积，可得内切圆半径．【详解】因为椭圆的左、右焦点分别为，57 所以直线为：，代入椭圆方程可得：，设两点坐标为，，则，故的面积，的周长C=4a=8，所以的内切圆半径为，故答案为：【点睛】关键点点睛：考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即．利用三角形面积可求解.27．椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于A、B两点，当的周长最大时，的面积为________.【答案】.【分析】首先利用椭圆的定义得的周长为，得出直线经过椭圆的右焦点时周长最大，进而得出57 直线的方程为：，与椭圆方程联立，求出的值，利用即可求解.【详解】由椭圆的标准方程得：，如图所示，设椭圆的右焦点为，则的周长为，当且仅当直线经过椭圆的右焦点时取等号，将代入得，∴直线的方程为：，设，，联立，消得：，∴，，57 ∴，∴的面积＝故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是的周长为利用椭圆的定义转化为，进而求出直线过右焦点时的周长最大，直线的方程为：，与椭圆方程联立很容易想到，下一步求面积迎刃而解.28．已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交与两点，为坐标原点，则的面积为__________.【答案】【分析】根据题意，求出右焦点，将直线方程代入椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，设，，解方程求出方程根，求出的面积即可.【详解】由题意可知，椭圆，又直线方程为，57 将其代入椭圆，消去整理可得，设，，则，所以的面积为.故答案为:.29．直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，，，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为____.【答案】【分析】设出，，，由成等差数列得到，利用点差法得到，再利用韦达定理可得弦长，然后求面积.【详解】设，，，因为，，三点的横坐标依次成等差数列，所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，因为，在抛物线上，所以有，两式作差可得，所以，所以直线的方程为，57 即，由得：，所以，所以，故【点睛】解决本题的关键点是利用点差法得到直线的斜率和中点坐标之间的关系，结合韦达定理得到弦长.30．已知点，抛物线的焦点为，准线为l，线段交抛物线于点．过作的垂线，垂足为，若，则三角形的面积__________．【答案】【分析】由抛物线的定义可知，，，再由直角三角形的性质可知，点为的中点，利用中点坐标公式求出点的坐标，代入抛物线方程求出的值，根据即可算出结果．【详解】解：如图所示：57 ，由抛物线的定义可知，，，又，由直角三角形的性质可知，点为的中点，，，把点，代入抛物线方程：得，，解得，，，，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得，，，再由直角三角形的性质得，点为的中点，利用中点坐标公式表示出点的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题．57 31．已知经过点（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点C（-1，-1），且CA⊥CB，则△ABC的面积为________．【答案】【分析】由题意可设直线的方程为，，联立抛物线方程有，，结合CA⊥CB结合向量垂直的坐标表示即可求，应用点线距、焦点弦长公式即可求△ABC的面积.【详解】由题意，设直线的方程为与抛物线y2＝4x相交于，∴、为的两个根，即有，，又∵CA⊥CB，由向量垂直的坐标表示，有，得，若设C到AB的距离为h，则，57 ∴由，，所以，【点睛】关键点点睛：由于直线可能垂直于x轴而不可能平行x轴，用点斜式设直线为y表示x的方程，注意该直线过抛物线焦点，联立方程求得，并应用点线距、焦点弦长公式、三角形面积公式求面积.32．已知经过点的直线与抛物线相交于，两点，点，且，则的面积为______.【答案】【分析】设直线，联立，由，利用韦达定理求得，然后再求得点到的距离及弦长求解.【详解】设直线，设点，，联立，得，则，，则，.57 由题意知，所以，展开并代入化简得，所以，所以的方程为，点到的距离为，，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系研究三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.五、双空题33．设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为，若，则_________.的面积为_________.【答案】5【分析】由题意利用焦点坐标即可求得的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得57 的面积．【详解】解：抛物线的焦点为，所以，所以，如图所示，过点作，交直线于点，由抛物线的定义知，，且，所以，，所以，可知：，所以直线的斜率为，设直线的方程为，点，，，，由，消去整理得，所以，所以，所以，所以的面积为，故答案为：．57 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．57