专题01 圆锥曲线中的弦长问题(教师版)

专题01圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．设椭圆长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程，求出，由此可求得结果.【详解】设椭圆焦点在轴上，椭圆的标准方程为，将或代入椭圆的标准方程得，，解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.故选：D.2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】当l：时，，设与椭圆联立可得：，然后41 求得的中垂线方程，令，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.【详解】椭圆的左焦点为,当l：时，，，所以，设与椭圆联立，可得：，由韦达定理得：，取中点为，所以的中垂线方程为：，令，得，所以，又，41 所以，综上所述，故选：B.【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．3．过椭圆9x2+25y2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB的长为（）A．5B．6C．D．7【答案】C【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】由9x2+25y2=225得，，，所以，右焦点坐标为，直线AB的方程为，所以得，设，所以，41 .故选：C.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式，由韦达定理的应用.4．椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为的直线l过左焦点且交于，两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用等面积法可得：，求解出的值，然后根据弦长公式的取值范围.【详解】设内切圆半径为r，由题意得得，.故选：B.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.二、多选题5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段41 为直径的圆交轴于、两点，则（）A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为B．若，则直线的斜率为C．若直线的斜率为，则D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为【答案】AD【分析】由抛物线的定义求得的值，可判断A选项的正误；设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得的值，可判断B选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项的正误；设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，求得点到轴的距离和，可得出关于的表达式，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由抛物线的定义可得，解得，所以，抛物线的标准方程为，A选项正确；对于B选项，如下图所示：抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为，联立，消去并整理得，恒成立，由韦达定理可得，，由于，由图象可得，即，41 所以，，可得，解得，所以，直线的斜率为，B选项错误；对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，，由抛物线的焦点弦长公式可得，C选项错误；对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为.设直线的方程为，设点、，联立，消去可得，，则，，，点到轴的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：AD.【点睛】41 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点、的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.三、解答题6．如图，是直线上一动点，过点且与垂直的直线交抛物线于，两点，点在，之间．（1）若过抛物线的焦点，求；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出直线的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果；（2）设，联立方程组分别求出A，B，P的纵坐标，将表示为关于的函数式，结合基本不等式即可得结果.【详解】解：（1）由已知得，所以，联立得，消去，可得，设点，，41 由根与系数的关系得，所以．（2）设，由，消去，可知，∵有两个不同的交点，∴，解得：，，由，得，由于点在点，点之间，所以，设，所以，当且仅当时，即时取等号．故的最小值为．【点睛】关键点点睛：（1）直线弦长公式的应用；（2）将所求量表示为关于的函数，利用基本不等式求最值.7．已知椭圆（）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线过点，且与椭圆相交于另一点．41 （1）求椭圆的方程；（2）若线段长为，求直线的倾斜角．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线方程，代入椭圆方程得关于的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程.【详解】(1)由题意可知，，，。椭圆方程为：(2)由题可知直线斜率存在，设直线方程为:代入椭圆方程得：，，，解得，直线的倾斜角为或.【点睛】本题是椭圆与直线相交弦长问题，是高考解析几何中的常见题型.注意点点睛：①在设直线时要注意直线斜率是否存在，做必要的交代；②代入消元后要交代的符号，确定交点是否存在及存在时的个数；③所得解回代检验合理性，以确保答案的正确性.8．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.41 （1）若直线的倾斜角为，求线段的长；（2）若，求的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点、，求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，由求得的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得的值，利用抛物线的定义可求得的长.【详解】（1）设点、，抛物线的焦点为，由于直线过点，且该直线的倾斜角为，则直线的方程为，联立，消去并整理得，，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得；（2）设点、，由题意可知，直线不可能与轴重合，设直线的方程为，联立，消去并整理得，，由韦达定理可得，，，可得，，，则，41 ，因此，.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．9．已知圆上上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当在圆上运动时，线段中点为.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线l的方程为y＝x－1，与点的轨迹交于，两点，求弦的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设、，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设，，，点是线段中点，，又在圆上，，即点的轨迹方程为.（2）联立，消去可得，，，设，，则，，41 .【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解.（2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解.（3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为、，，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，，解得，，求得，可得椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由，，可得，，解得，，则，即有椭圆的方程为；（2）联立直线和椭圆，可得，设被椭圆截得的弦的端点的横坐标分别为，，则，，41 可得弦长为.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.11．已知直线与圆相交.（1）求的取值范围；（2）若与相交所得弦长为，求直线与相交所得弦长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由圆求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离小于半径即可求解；（2）由与相交所得弦长为，利用弦长的一半、弦心距、圆的半径满足勾股定理可求出圆的半径，再次利用勾股定理即可求解.【详解】（1）圆的圆心为，半径为.因为直线与圆相交，所以圆心到的距离解得：，即的取值范围是.（2）因为与相交所得弦长为，所以，因为圆心到的距离，所以直线与M相交所得弦长为.【点睛】41 方法点睛：有关圆的弦长的两种求法（1）几何法：直线被圆截得的半弦长为，弦心距和圆的半径构成直角三角形，即；（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系可求得弦长或12．已知双曲线的标准方程为，分别为双曲线的左、右焦点.（1）若点在双曲线的右支上，且的面积为，求点的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于两点，求线段的长度.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由双曲线方程可得，进而可得点的纵坐标，代入即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.【详解】（1）由题意，双曲线的焦距，设点，则，解得，代入双曲线方程可得，所以点的坐标为或；（2）由题意，，则直线，设，41 由，化简可得，则，，所以.13．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.（1）设的斜率为，求的值；（2）求证：为定值.【答案】（1）5；（2）证明见解析.【分析】（1）求出直线方程为，联立直线与抛物线，由即可求解；（2）设直线方程为，由韦达定理表示出，即可得出定值.【详解】（1）依题意得，所以直线的方程为.设直线与抛物线的交点为，，由得，，所以，.所以.（2）证明：设直线的方程为，直线与抛物线的交点为，，由得，，所以，.41 因为.所以为定值.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.14．已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为A，B．经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大值为.【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线：，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出，，变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为，所以且，所以，41 所以椭圆方程为.（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为，所以斜率为1，直线的方程为，联立，消去并整理得，设，，则，，所以.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，设直线：，，，联立，消去并整理得，则，，所以异号，所以,当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.15．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.（1）求椭圆的方程；41 （2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.【答案】（1）；（2）4或.【分析】（1）根据，以及即可求解.（2）将直线与联立，求出交点，再由，可得点为的中点，根据在直线：上求出点即可求解.【详解】（1）由题意得，，结合，解得，，，故所求椭圆的方程为.（2）易知定直线的方程为.联立，整理得，解得，不妨令点的坐标为.∵，由对称性可知，点为的中点，故，又在直线：上，41 故，解得，，故点的坐标为或，所以或，所以的长度为4或.【点睛】关键点点睛：解题的关键是求出点，根据对称性可知，确定点为的中点，考查了计算求解能力.16．已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求直线的方程【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.（2）首先设出直线方程，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程，再解方程即可得到答案.【详解】41 （1）由题意知解得，.所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，其判别式.设点，坐标分别为，，则，.所以，整理得，解得或，所以或.综上，直线的方程为或.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.17．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．41 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求使取最小值时直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）由离心率及，可得出，，进而写出椭圆的方程；（Ⅱ）进行分类讨论，①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不满足题意；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，分别将直线与的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出和的表达式，然后利用弦长公式求出的表达式，然后利用基本不等式求出取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（Ⅰ）由题意知，，又，解得，，所以椭圆方程为；（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知，不满足条件；②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，设，，将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得，则，，41 所以，同理，，所以+=≥，当且仅当即时，上式取等号，所以直线AB的方程为或．【点睛】易错点点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力和的分析计算能力，属于中档题.18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，且过点的直线被抛物线所截得的弦长为8．（1）求直线的方程；（2）当直线的斜率大于零时，求过点且与抛物线的准线相切的圆的方程．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）由题意得，，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程.【详解】（1）由题意得，41 当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时，不满足，舍去；当直线l的斜率存在时，设方程为由得设，则，且由抛物线定义得即，解得因此l的方程为或.（2）由（1）取直线的方程为，所以线段的中点坐标为(3，2)，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，该圆的圆心到直线的距离为，则，则该圆的半径为，因为该圆与准线相切，所以，解得或,当圆心为时，半径为，当圆心为时，半径为，因此所求圆的方程为或．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键.19．椭圆：，直线过点，交椭圆于､两点，且为的中点.41 （1）求直线的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式，求的值.【详解】（1），，点在椭圆里面，设，，则，两式相减可得，变形为，①点是线段的中点，，并且有椭圆对称性可知，由①式两边同时除以，可得，，设直线的斜率为，，解得：，所以直线的方程；（2），，，41 可得，，，化简为，且解得：【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.20．如图所示，已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.（1）；（2）存在，实数.【分析】（1）计算得出，利用椭圆的定义可知，曲线为椭圆，确定焦点的位置，求出、的值，结合点不在轴上可得出曲线的方程；41 （2）设直线的方程为，设点、，将直线与曲线的方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可计算出的值，即可得出结论.【详解】（1）连接，由垂直平分线的性质可得，由于四边形为平行四边形，则，，所以点的轨迹是以、为焦点，以为长轴长的椭圆，由得，半焦距，所以，轨迹的方程为：，由于四边形为平行四边形，则点不能在轴上，可得，因此，轨迹的方程为：；（2）由于曲线是椭圆去掉长轴端点后所形成的曲线，当直线的斜率为时，直线与轴重合，此时，直线与曲线无公共点，设直线的方程为，设点、，由消去得，，41 则，，不妨设，，，同理所以，即，所以存在实数使得成立.【点睛】直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．21．已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；（2）当△面积等于时，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求出的坐标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；（2）易知直线斜率存在，可表示出的方程，与椭圆方程联立，得到关于41 的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出的表达式，及点到直线的距离的表达式，结合，可求出直线的斜率.【详解】（1）因为直线l过，斜率为，所以：.联立，得到.由韦达定理，有，设，则，，所以，.（2）由题意，可知直线斜率存在，设斜率为，则为：，联立，得到，由韦达定理，有，O到直线l的距离为，.41 则.所以，化简得，解得，所以直线：或.22．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点.（1）将表示为的函数；（2）若，求的周长.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）设点，，，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合，进而得到的周长．【详解】（1），整理得，则，，其中；（2）由，41 则，解得，经检验，此时，所以，由抛物线的定义，有，又，所以的周长为．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.23．如图，过点的直线与抛物线交于两点.（1）若，求直线的方程;（2）记抛物线的准线为，设直线分别交于点，求的值.【答案】（1）；（2）-3.【分析】(1)设直线的方程为，,方程联立得到，由直线方程求出，由条件可得，从而求出答案.41 (2)由直线分别交于点，则,可得，同理可得，由，结合（1）中的可得答案.【详解】(1)设直线的方程为，由，得所以则由抛物线的性质可得解得，所以直线的方程为：（2）由题意可得直线：，设由（1）可得，由直线分别交于点，则,即，所以由直线分别交于点，则,即，所以【点睛】关键点睛：本题考查抛物线过焦点的弦长和直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键是利用过焦点的弦长公式，设直线的方程为41 ，方程联立韦达定理代入即可，由直线分别交于点，则得出，同理得出，利用韦达定理的结果即可，属于中档题.24．设椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根据椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】（1）因为椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，所以，解得，41 所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为，联立得，则△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，41 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以，，①当时，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取”=”.②当时，.③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，综上，|AB|的取值范围为，即：【点睛】41 思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．25．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；41 （2）求经过，且与直线夹角为的直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以P点轨迹以F，O为左右焦点，长轴长的椭圆，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为；（2）如图，不妨令过的直线交椭圆于C，D且倾斜角，所以直线，设，联立，消元得，，所以，41 所以.四、填空题26．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作斜率为1的直线，与抛物线交于，两点．若弦的长为6，则实数的值为__________.【答案】【分析】设，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程可求，，代入弦长公式，利用线段的长度，求解即可.【详解】抛物线上的焦点，，直线的斜率为1，则可设直线的方程为，设，，，联立方程，整理得，由韦达定理可得：，，，解得；故答案为：．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.27．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，直线l：y=2x+b经过抛物线C的焦点，且与C相交于A、B41 两点．若|AB|=5，则p=___．【答案】2【分析】法1：首先利用直线过焦点，得，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示，计算求得；法2：由已知，求得的值，再利用弦长公式，求的值.【详解】法1：由题意知，直线，即．直线经过抛物线的焦点，，即．直线的方程为．设、，联立，消去整理可得，由韦达定理得，又，，则.法2：设直线的切斜角为，则，得，∴，得.故答案为：2【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于两点，称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于，①；②；③为定值；④弦长（为直线的倾斜角）；⑤以为直径的圆与准线相切；⑥焦点对在准线上射影的张角为.28．已知抛物线为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列结论正确的有________．41 ①若直线的斜率为-1，则弦；②若直线的斜率为-1，则；③点恒在平行于轴的直线上；④若点是弦的中点，则．【答案】①③④【分析】设PA的方程与抛物线方程联立，利用判别式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,联立与的方程求出点的坐标，可知④正确；设直线的方程为，与抛物线方程联立，当时，利用韦达定理求出与可知②错误，③正确；当时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长，可知①正确．【详解】设PA方程与抛物线方程联立得，由得，方程为，同理得PB方程，联立，解得，所以交点P，即，所以④正确；根据题意直线的斜率必存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以③正确；41 当t=-1时，，所以②错误，当t=-1时，根据抛物线的定义可得，所以①正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点的坐标是解题关键.五、双空题29．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是______；若直线过点，则______.【答案】【分析】根据焦半径公式可得，再根据可得，联立即可求出，得到抛物线的方程；再联立直线和抛物线的方程，可解得，再根据，即可解出．【详解】设，，由抛物线的焦半径公式可得，，，则，即.因为点在线段的垂直平分线上，所以，则.41 因为，，所以，因为，所以，则，解得，故抛物线的方程是.因为直线过点，所以直线的方程是，联立，整理得，则，从而，因为，所以，解得.故答案为：；．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，意在考查学生转化与化归的能力以及数学运算能力，属于基础题．41