2022届高考数学二轮专题复习18圆锥曲线中的综合问题

圆锥曲线中的综合问题1．定点问题1．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）解：因为四点，，，中恰有三点在上，而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，代入可得，解得，所以的方程为．（2）解：当直线斜率不存在时，得，，，则直线方程为，过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立，整理得，，22 ，，则，所以，又，所以，即直线过点．2．已知点是椭圆的右焦点，点到直线的距离为，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线过定点．【解析】（1）由题意知，点到直线的距离，，又椭圆的离心率，，，∴椭圆方程．（2）设该直线过定点，设直线的方程，联立，消去整理得，设，，则，，22 ，，，即，，解得，即直线过定点．3．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）因为，，则，又，解得，故椭圆的方程为．（2）当直线斜率存在且不为0时，设（），，22 由，得，，故，则，与联立，得，与联立，得，因为，则，即，解得，则，恒过点，当时，易知，，由，得，则过点；当斜率不存在时，设，易知，，由，得，则过点，综上，直线过定点．2．定值问题1．已知抛物线的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且．（1）求抛物线C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．【答案】（1）x2＝2y；（2）证明见解析．【解析】（1）∵点N（t，1）在抛物线上，且，∴，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y．22 （2）依题意，设直线，，，联立，得，则，∴，故为定值．2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．【解析】（1）由题意知，∴椭圆C的方程为．22 （2）直线l的方程为，，，，，∴，，，直线AP方程为，令，得，∴，同理，∴为定值．3．已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积，证明：四边形ABCD的面积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）不妨取左焦点，到渐近线的距离为，解得，∴，22 又∵点是椭圆上一点，∴，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，不妨设，则，又，解得，根据椭圆的对称性，不妨取，则，则，所以；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点，联立，得，则，，因为，得，即，所以，，解得，，原点到直线AB的距离为，因为，且，22 所以（定值），综上述四边形ABCD的面积为定值．3．定线问题1．已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，．（1）求的方程；（2）若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）点在定直线上．【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为，因为直线斜率不存在时，可得，由题意得，解得，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，整理得，22 则，，所以，由题意可得直线的方程为，直线的方程为，则，即，把代入上式，得，即，故点在定直线上．2．已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证：点N在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设动点，∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，∴，整理得，∴曲线C的方程为．（2）设，，，直线方程，与椭圆方程联立，整理得，22 ，由韦达定理得，化简得，由已知得，，则直线的方程为，直线的方程为，联立直线和得，代入，、可得，化简可得，所以N点在一条定直线上．4．最值与范围问题1．在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由右焦点知，，22 当垂直于x轴时，最小，其最小值为．又∵，解得，，∴椭圆C的标准方程为．（2）解法一：取，则点M在直线上，且点M为线段的中点，∴．当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为，则点O到直线的距离，联立方程，消去y整理得，则，，，，∴，22 令，则，此时，综上可得，面积的取值范围为．解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，由，得点P的坐标为，则点P到直线的距离为1，又，∴的面积为，当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为，设P，A，B的坐标分别为，，，则，，由，得，，即．故点P在直线上，且此直线平行于直线．则点P到直线的距离，22 联立方程，消去y整理得，则，，，∴，令，则，此时．综上可得，面积的取值范围为．解法三：取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．∴，设直线的方程为，则点O到直线的距离．联立方程，消去x整理得，则，，，，∴，∴，22 即面积的取值范围为．2．已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且．（1）求的值；（2）已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值．【答案】（1）1；（2）2．【解析】（1）将代入抛物线方程，得，即，由，即，解得．（2）设点，，设直线DE的方程为，将与抛物线方程联立，得到，由，可得，即直线DE的方程为．由已知得直线AM的方程为，将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，易得，由，，则，所以，22 而，故，故的最小值为2，此时．3．如图，点A，B是椭圆与曲线的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线的切线与x轴交于点D．记△ABC与△ABD的面积分别是，．（1）证明：；（2）若，求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题设，令，且，则，又，得证．（2）由（1）得：直线为，则到直线的距离为；由且，则，故过A的切线为，令，可得，即，所以到直线的距离为；又，22 所以，，故，根据在椭圆上，则，可得，且，综上，且，所以，当时，，此时，则，故．4．如图，已知点在半圆上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．（1）抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程；（2）若存在点P，使得，求p的取值范围．【答案】（1），准线方程为直线；（2）．【解析】（1），，准线方程为直线．（2）设，，过点A的切线方程，于是；22 过点的切线方程，于是；点在两条切线上，所以，可得点P坐标为．且，于是．，，而，所以，于是点，点P的轨迹方程为，问题转化为抛物线与半圆有交点．记，则，又因为，解得．5．探究性问题1．已知动圆过点，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）依题意，圆心的轨迹E是以为焦点，为准线的抛物线．22 所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E为x2＝4y．（2）依题意，直线AB斜率存在，设直线，．由，得，故，，由x2＝4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，由PA⊥PB，得，所以m＝1，这说明直线AB过抛物线E的焦点F，则切线，．联立，消去y得，即，则，即，于是P到直线的距离，．设原点到直线的距离为，则，所以．因为，所以，化简整理得，无解，所以满足条件的点P不存在．2．已知抛物线的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线22 上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．（1）求C的方程；（2）设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）解：设，∵为等边三角形时，其面积为，，∴，解得，∵Q为在动直线上的投影，∴，当为等边三角形时，，由抛物线的定义知，，∴，解得，∴C的方程为．（2）解：设，，则，，∵，∴，∴切线，即，联立方程，∴，∵，∴，，22 ∵△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，∴，即，则，所以存在，使得△QMA和△OMB的面积相等恒成立．3．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，P是直线x＝－4上的动点，过P作两条相异直线和，其中与抛物线交于A、B两点，与C交于M、N点，记、和直线OP的斜率分别为、和．（1）当P在x轴上，且A为PB中点时，求；（2）当AM为△PBN的中位线时，请问是否存在常数μ，使得？若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【解析】（1）由条件知且，设，所以，消去x可得，所以，，又因为A为PB中点，所以，所以，所以，，所以，所以．（2）设，所以，，所以．因为AM为△PBN的中位线，所以A为PB的中点，M是PN的中点，22 所以，即，即，又，所以，所以，所以①同理，②由①②可知：是满足方程的两个根，所以，所以，所以，，所以，所以，所以存在常数使得成立．4．已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线m交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，以O，A，B三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）椭圆的离心率为，，，又由椭圆经过点，，解得，22 则椭圆的方程为．（2）依题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线方程与，整理得，则，设，由四边形为平行四边形，得，则，即，若点落在椭圆上，则，即，整理得，令，故上式等价于，解得（舍去），故斜率存在时，不存在直线满足题意；当直线的斜率不存在时，直线的方程，此时存在点在椭圆上．综上，存在直线，使得点在椭圆上．22