初中数学-整式四则运算专题

初中数学-整式四则运算专题在字母代表数量的意义下，整式的四则运算和有理数的四则运算并没有本质的区别，只是更一般更普遍。整式的四则运算是基础内容，本讲主要介绍整式运算中的整体思想，并简要介绍整式的除法。整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用．对于新定义恒等式，已知条件中一般都要进行赋值，若没有赋值，可能需要自己进行赋值，一般让字母取，，，，等．以下是常见的几种代数式：①定义，则．定义，则．②定义，则．定义，则．另外我们还可以利用乘法公式进行恒等变形：平方差公式：完全平方公式：【培训例题】例1、、均为整数，若是的倍数，求证：也是的倍数。解析:要证明也是的倍数，只需将设法凑成的倍式与的倍式的代数和，其中只要与互质即可。因为，而和都是 的倍数，所以也是的倍数。又因为和互质，所以也是的倍数。说明：整式的加减运算常被用来解答一些与数的整除性有关的问题，本题就是一个典型的例子。解答此类问题的关键是“凑”出恰当的系数来。例2、（中考）若，则．解析：用整体法：，即，故．也可以求出的值再代入求值，变形得（现在先不要说因式分解），即或，代入．例3、（年“数学解题能力展示”读者评选活动初一初赛）现有一个代数式，当时，代数式的值为，当时，代数式的值为，则．解析：当时，原式当时，原式可见，因此例4、若一个三角形的底边增加，该边上的高减少后，面积保持不变，求。解析：依题意得，所以，，因此例5、求的商式和余式。解析：商式=，余式=59例6、求一个关与的二次三项式，它被除余；被除余 ；并且被整除。解析：设这个二次三项式为：。则当时原式；当时原式；当时，原式，所以可得，解得。所以这个二次三项式为：例7、已知，求的值．解析：将代入已知等式，得；将代入已知等式，得；所以．例8、（新加坡中学生数学竞赛）设，求的值．解析：在方程中设，得：　　①令，得：　　　②①＋②得：　　③又令，得④③－④得：．例9、已知，，求代数式的值．解析：法一：注意将未知数划归统一，，法二：，，．例10、已知，则的值等于．解析：，，故．例11、已知，求、、、的值．解析：法一：得．， ，归纳可得．法二：因为，所以，即，所以，故可得答案．例12、已知，试求的值．解析：由已知条件，，并且，即，所以，因此原式．【练习作业】1、代数式的值为，则的值为．由得，．2、、均为整数，是的倍数，求证：也是的倍数。设，则。而，所以是的倍数。3、已知，，代数式的值为．．4、已知关于的整系数二次三项式，如．已知，，，．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（）A．B．C．D．本题一般解题者都会分四种情况分别求出、、，从而判断错误，计算量太大．下面用另一种方法来判断：选C．当与时，多项式的值分别为与，它们的奇偶性相同，可结果与肯定有一个是错误的．当与 时，多项式的值分别为与，它们除以的余数相同，而结果和除以的余数不同，故其中必有一个是错误的．从而是错误的答案．5、不展开，判断其展开式中的系数。因为乘积式是由第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘得到的，而对于第一个多项式中的，只有与第二个多项式中的相乘才能得到，所以是展开式中的系数的一部分；同理，只能与相乘才能得到，所以也是展开式中的系数的一部分；只能与相乘才能得到，所以也是展开式中的系数的一部分；只能与相乘才能得到，所以也是展开式中的系数的一部分。综上所述，展开式中的系数为.6、商式，余式：7、已知，①求的值．②求的值．③求的值．①将代入式子可以得到：，②将代入式子可以得到，将代入式子可以得到： ，所以．③，，所以8、某同学做一道代数题：当时，求代数式的值．由于他将式中某项前加号看成减号，结果计算的．那么这位同学看错了（）次项前面的符号．A．B．C．D．如果没看错运算符号，那么正确结果应该是，错误结果比正确结果大，说明系数为的那一项符号看错了，因此将看成了．9、(第3届希望杯2试)若，，求．根据两边平方得，又已知，所以，所以，中至少有一个为，但，因此，中只能有一个为，另一个为或，所以．巧用完全平方公式本身的特点变形解答．10、已知，，求代数式的值．法一：代入消元，由已知得，，代入原代数式得原式法二：应用公式，再将，及代入原式．11、已知，求的值有，的同理 12、已知，则．当时，，故，由等号两边除以得，即，