初中数学知识总结专题01 有理数的运算（教师版）

专题01有理数的运算专题知识回顾1.1大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。“负”与“正”是相对的。例如：如果“正”代表增加，那么“负”代表减小。如果“+5米”代表地面以上5m，那么“-5米”就代表地面以下5m。1.2.1有理数：整数和分数统称有理数⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数（有限小数和无限循环小数可以化为分数）理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。1.2.2数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：（1）在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3···；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示-1,-2,-3···数轴可以直观地表示很多与数相关的问题。（例如表示相反数、绝对值、加减法的运算，等等）1.2．3相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（例如5和-5，到原点的距离都是5，只是符号不一样）(1)a、b互为相反数，我们说a是b的相反数或b是a的相反数；(2)0的相反数还是0；(3)相反数的和为0Ûa+b=0Ûa、b互为相反数.1.2.4绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣。(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点与原点的距离；11,(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；4.有理数比大小：（1）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数＞0＞负数；（3）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（4）如果a-b＞0，那么a＞b；如果a-b=0，那么a=b；如果a-b＜0，那么a＜b。5.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1Ûa、b互为倒数；若ab=-1Ûa、b互为负倒数.6．有理数的加法：11,（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.7．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.8.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.9.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.10．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.11．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.12．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；13．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.11,14.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.15.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.16.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.11,专题典型题考法及解析【例题1】（2019•江苏苏州）5的相反数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考察相反数的定义，简单题型.5的相反是为。【例题2】（2019•广东省广州市）|﹣6|＝（　　）A．﹣6B．6C．﹣D．【答案】B．【解析】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．根据负数的绝对值等于它的相反数解答．﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．【例题3】（2019•湖南株洲）﹣3的倒数是（　　）A．﹣B．C．﹣3D．3【答案】A【解析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．∵﹣3×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．【例题4】（台湾）算式743×369﹣741×370之值为何？(　　)A．﹣3B．﹣2C．2D．3【答案】A【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3【例题5】（2019•湖北孝感）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250000000亿次/秒，将数1250000000用科学记数法可表示为　　．11,【答案】1.25×109．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．将数1250000000用科学记数法可表示为1.25×109．【例题6】（经典题）按照要求，用四舍五入法表示数。（1）1.804（精确到0.01）（2）0.0158（精确到0.001）【答案】（1）1.80（2）0.016【解析】精确到0.01，意思就是把这个数保留到小数点后两位，关键要看小数点后第三位要等于大于5就把小数点后面第二位进1。小数点后第三位要小于5，小数点后面第二位不变。精确到0.001，意思就是把这个数保留到小数点后三位，关键要看小数点后第四位要等于大于5就把小数点后面第三位进1。小数点后第四位要小于5，小数点后面第三位不变。（1）1.804（精确到0.01）=1.80（2）0.0158（精确到0.001）=0.016专题典型训练题一、选择题1.（2019•铜仁）2019的相反数是（　　）A．B．﹣C．|2019|D．﹣2019【答案】D【解析】2019的相反数是﹣20192.（2019•广西贺州）﹣2的绝对值是（　　）A．﹣2B．2C．D．﹣【答案】B【解析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．|﹣2|＝23.（2019•山东省德州市）﹣的倒数是（　　）A．﹣2B．C．2D．1【答案】A11,【解析】根据倒数的定义求解即可．﹣的到数是﹣24.（2019•广西贺州）某图书馆现在有图书约985000册，数据985000用科学记数法可表示为（　　）A．985×103B．98.5×104C．9.85×105D．0.985×106【答案】C．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于985000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．985000＝9.85×1055.（2019•广西贺州）计算++++…+的结果是（　　）A．B．C．D．【答案】B．【解析】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．原式＝＝＝．二、填空题6.(2019四川成都）若与-2互为相反数，则的值为.【答案】1【解析】此题考察的是相反数的代数意义，互为相反数的两个数和为0.所以m+1+(-2)＝0，所以m＝17.（2019▪黑龙江哈尔滨）将数6260000用科学记数法表示为　　．【答案】6.26×106．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．6260000用科学记数法可表示为6.26×10611,8.（2019•广东）计算20190+()﹣1=____________．【答案】4【解析】零指数幂和负指数幂的运算原式=1+3=49.（2019•广西贵港）有理数9的相反数是　　．【答案】﹣9【解析】根据相反数的求法即可得解；9的相反数是﹣910.（2019•湖南邵阳）的相反数是　　．【答案】﹣【解析】根据相反数的意义，即可求解。的相反数是﹣。11.（2019•山东省德州市）|x﹣3|＝3﹣x，则x的取值范围是　　．【答案】x≤3；【解析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3﹣x≥0，即可求解；【解答】解：3﹣x≥0，∴x≤3，故答案为x≤3。12.（2019•江苏无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为　　人次．【答案】2×107．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．将20000000用科学记数法表示为：2×107．13.（2019•山东省聊城市）计算：（﹣﹣）÷＝　　．【答案】﹣．【解析】有理数的混合运算。先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．原式＝（﹣）×＝﹣11,14.（2019•贵州省安顺市）若实数a、b满足|a+1|+＝0，则a+b＝　　．【答案】1【解析】∵|a+1|+＝0，∴，解得a＝﹣1，b＝2，∴a+b＝﹣1+2＝1．15.(2019黑龙江绥化)某年一月份,哈尔滨市的平均气温约为－20℃,绥化市的平均气温约为－23℃,则两地的温差为________℃.【答案】3【解析】－20－(－23)＝316.（2019湖北咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是　　．【答案】﹣384【解析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384三、解答题17.（2019•河北省）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：1+2﹣6﹣9；（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．11,【答案】见解析。【解析】（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，∴1××6□9＝﹣6，∴3□9＝﹣6，∴□内的符号是“﹣”；（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，∴这个最小数是﹣20．18.（2018大连）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自O地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10、-3、+4、+2、-8、+13、-2、+12、+8、+5（1）问收工时距O地多远？（2）若每千米耗油0.2升，从O地出发到收工时共耗油多少升？【答案】（1）41千米（2）13.4【解析】10-3+4+2-8+13-2+12+8+5=41把各数的绝对值相加=10+3+4+2+8+13+2+12+8+5=6767×0.2=13.4(升)19.（2018齐齐哈尔模拟题）计算：【答案】-2【解析】利用乘法对加法的分配律可以快速准确地解答本题.11,原式11