高考数学重难点题型归纳第13讲 正余弦定理与解三角形小题1（原卷版）

第13讲正余弦定理与解三角形小题15类（1）【题型一】解三角形基础：角与对边【典例分析】的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2−sin2(B+C)=3sinBsinC，且，则的面积的最大值是A．B．C．D．4【变式演练】1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（）A．B．C．D．2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为A．B．C．D．3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]【题型二】判断三角形形状【典例分析】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【变式演练】,1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形但一定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对【题型三】最值与范围1：先判断角【典例分析】锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练】1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A．B．C．D．2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是A．−1,3B．1,3C．(2,3)D．1,2,3.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC+ccosA)=3a，则cb的取值范围是（）A．(12,2)B．(33,233)C．(1,2)D．(32,1)【题型四】最值与范围2：余弦定理【典例分析】在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+ba的最大值为A．2B．4C．25D．【变式演练】1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sinA=2sinBsinC，则cb+bc取得最大值时，内角的值为A．B．π4C．D．2.满足条件的三角形的面积的最大值是A．B．C．D．3.,则的最大面积为A．3B．C．2D．无法确定【题型五】最值与范围3：辅助角【典例分析】在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式演练】,1.若面积为1的满足，则边的最小值为（）A．1B．C．D．22.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为A．B．C．D．【题型六】最值与范围4：均值不等式【典例分析】锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A．(）B．(）C．[)D．[，1)【变式演练】1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（　　）A．B．2C．D．42.在锐角中，角，，的对边分别为，，(a>b>c)，已知不等式1a−b+1b−c≥ta−c恒成立，则当实数t取得最大值T时，TcosB的取值范围是A．0,125B．2,125C．[2,23]D．(2,4)3.已知的面积为，，则的最小值为（）A．B．C．D．【题型七】最值与范围5：周长最值【典例分析】已知锐角的内角所对的边分别为，且，,的面积为2，则的周长为（）A．B．C．D．【变式演练】1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（）A．B．C．D．2.在中，角所对的边分别为，若sinA+cos(A+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是A．[6,8)B．[6,8]C．[4,6)D．(4,6]3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（）A．B．C．D．【题型八】面积1:消角【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式演练】1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）A．B．C．D．2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若,，则sinA+sinC的最大值是____________．【题型九】面积2：正切代换【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【变式演练】1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B．C．D．2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【题型十】最值与范围6：建系设点【典例分析】已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（）A．B．C．D．【变式演练】1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）A．4B．C．6D．2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______,3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点,分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠BAC=90°,AB=AC=4,那么,两点间距离的A．最大值是42,最小值是4B．最大值是8,最小值是4C．最大值是42,最小值是D．最大值是8,最小值是【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围【典例分析】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为A．B．C．D．【变式演练】1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．82.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC=3b2，则的最小值是_______．3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．,【题型十二】图形1：中线【典例分析】以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（）A．B．C．D．前三个答案都不对【变式演练】1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是A．B．C．[D．2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（）A．B．C．D．3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（）A．B．C．D．【题型十三】图形2：角平分线【典例分析】在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　）A．B．C．D．【变式演练】1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若,，则的面积为（）A．4B．C．6D．2.如图所示，在，已知∠A:∠B=1:2，角的平分线把三角形面积分为3:2两部分，则cosA等于A．13B．C．34D．03.在中，，M为边上的一点，且BM=2，若BM为的角平分线，则2AM−1CM的取值范围为A．−32,3B．−32,3C．−12,3D．−12,3【题型十四】图形3：高【典例分析】.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）A．B．C．D．【变式演练】1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______,2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（）A．B．C．D．【题型十五】图形4：四边形【典例分析】在平面四边形中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练】1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（）A．27B．16C．10D．252.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（）A．B．C．D．3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为A．3B．4C．D．,【课后练习】1.锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．2.已知的三个内角所对的边分别为，满足cos2A−cos2B+cos2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则的形状为A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150∘的等腰三角形D．顶角为120∘的等腰三角形3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于(　　)A．B．C．D．5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（）A．B．C．D．,7.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（）A．B．2C．1D．9.在中,B=30∘,BC=3,AB=23,点在边上,点B,C关于直线的对称点分别为B',C',则ΔBB'C'的面积的最大值为A．9−332B．637C．937D．33210.在中，分别是角的对边，若，则的值为（）A．2018B．1C．0D．201911.如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（）A．B．C．D．12.在中，，边上的高等于，则A．B．C．D．,13.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180°的四边形，在平面凸四边形中，∠A=30°，∠B=135°，AB=3，AD=2，设CD=t，则t的取值范围是（）A．1,3+3B．1,3+3C．22,3+1D．22,3+1