高考数学重难点题型归纳第13讲 正余弦定理与解三角形小题1（解析版）

第13讲正余弦定理与解三角形小题15类（1）【题型一】解三角形基础：角与对边【典例分析】的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2&minus;sin2(B+C)=3sinBsinC，且，则的面积的最大值是A．B．C．D．4【答案】B【分析】由sinB+sinC2&minus;sin2B+C=3sinBsinC，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得sin2B+sin2C&minus;sin2A=sinBsinC，再由正弦定理可得a2+b2&minus;c2=bc，从而由余弦定理求得cosA=12，再利用基本不等式可得bc&le;4，由三角形面积公式可得结果.【详解】∵sinB+C=sinA，且sinB+sinC2&minus;sin2B+C=3sinBsinC，&there4;sin2B+sin2C&minus;sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2+b2&minus;c2=bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2&minus;a22bc=12，sinA=32，又∵a=2,&there4;4=b2+c2&minus;bc&ge;2bc&minus;bc=bc，即bc&le;4，&there4;S&Delta;ABC=12bc&times;sinA&le;12&times;4&times;32=3，即&Delta;ABC最大面积为3，故选B.【变式演练】1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知，即由正弦定理化简得,即故选：.2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得，进而可得角B，应用正弦定理有，根据三角形面积公式、三角恒等变换得，即可求面积的最大值.【详解】由，得，&there4;，又，&there4;，即，又，&there4;，又，&there4;.，由，有，则，，即面积的最大值是.故选：A.3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A．(1，9]B．(3，9]C．(5，9]D．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.,【详解】因为，由正弦定理可得，则有，由的内角为锐角，可得，，由余弦定理可得因此有故选：D.【题型二】判断三角形形状【典例分析】已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.【详解】由余弦定理，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A【变式演练】1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形但一定不是直角三角形,B．等腰直角三角形C．直角三角形但一定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.解：由得：，且，&there4;，且，&there4;，&there4;，化简整理得：，即，&there4;或，又，&there4;△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】对A,由两边之和大于第三边可得，再进一步用不等式的性质即可判断；对B，由余弦定理可知，再用正弦定理可知，进一步化简可得B,C的关系，进而可以得到a,b的关系；对C，结合B代特值即可判断；对D，结合B，可以得到A,B的关系，进而可以判断.【详解】因为，所以，故A正确；由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，所以，即，所以，所以或，因为，若，可得，所以，又，所以，此时，，满足，故B正确；,当，时，，故C错误；由B选项可知，故，即，故D错误．故选：AB.3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对【答案】A【分析】由三角函数的有界性得：&gt;,由三角形的性质可得，设，再结合余弦定理可得&gt;0,即可得解.【详解】解：因为存在角使得：则&gt;,即三边长也可构成一个三角形，不妨假设，由两边之和大于第三边可得：，即，在中，C最大，由余弦定理&gt;0,即C为锐角，即为锐角三角形，故选A.【题型三】最值与范围1：先判断角【典例分析】锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.解：因为，，所以，,可得：，即，因为为锐角三角形，则有，即，解得：.=，当时，原式有最大值，此时，则，，，即，所以.故选：A.【变式演练】1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得，所以，由于三角形是锐角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故选：C2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是A．&minus;1,3B．1,3,C．(2,3)D．1,2【答案】D【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.【详解】在锐角中，{0&lt;2&ang;B&lt;&pi;20&lt;&ang;B&lt;&pi;20&lt;&pi;&minus;3&ang;B&lt;&pi;2可得&pi;6&lt;&ang;B&lt;&pi;4，cosB&isin;(22,32),cos2B&isin;(12,34)，所以由正弦定理可知ABAC=cb=sinCsinB=sin3BsinB=3sinB&minus;4sin3BsinB=3&minus;4sin2B=4cos2B&minus;1&isin;(1,2)，故选D.3.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC+ccosA)=3a，则cb的取值范围是（）A．(12,2)B．(33,233)C．(1,2)D．(32,1)【答案】B【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acosC+ccosA)=3a可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C的取值范围，即可求解．【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC+sinCcosA)=3sinA&rArr;sin(A+C)=32&rArr;B=&pi;3又∵A,C&isin;0,&pi;2&there4;&pi;6<c<π2⇒12<sinc<1⇒cb=sincsinb=233sinc∈(33,233)故选b.【题型四】最值与范围2：余弦定理【典例分析】在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+ba的最大值为a．2b．4c．25d．【答案】c【分析】利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcosc，结合三角形面积为18c2可得c2=4absinc，ab+ba可化为=4sinc+2cosc=25sin(c+φ)，从而可得结果.【详解】由题意得，s=12absinc=18c2，∴c2=4absinc，又c2=a2+b2−2abcosc，∴a2+b2=c2+2abcosc，∴ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcoscab=4absinc+2abcoscab=4sinc+2cosc=25sin(c+φ)，则ab+ba的最大值为25，故选c【变式演练】1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sina=2sinbsinc，则cb+bc取得最大值时，内角的值为,a．b．π4c．d．【答案】b【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为a2=2bcsina，再代入余弦定理，从而将cb+bc转化为2(sina+cosa)，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的a值.【详解】由sina=2sinbsinc，根据正弦定理，a2sin2a=bcsinbsinc，可得a2=2bcsina，再由，得b2+c2=2bc(cosa+sina)，所以cb+bc=b2+c2bc=2bc(cosa+sina）bc=2(sina+cosa)=22sin(a+π4)，所以当a=π4时，cb+bc取得最大值，答案为b.2.满足条件的三角形的面积的最大值是a．b．c．d．【答案】d【解析】【详解】分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的面积表达式，再根据的取值范围，即可求解面积的最大值.详解：设，则，根据面积公式得，根据余弦定理得，代入上式，得，由三角形的三边关系可得，解得，故点时，取得最大值，故选d.3.,则的最大面积为a．3b．c．2d．无法确定【答案】b【详解】分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值.详解：，由余弦定理及得，，的面积，当时，即，的面积有最大值，的最大面积是，故选b.【题型五】最值与范围3：辅助角【典例分析】在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.【详解】，，则设所以，即，故选：a.【变式演练】1.若面积为1的满足，则边的最小值为（）a．1b．c．d．2【答案】c【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求,，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．解：的面积，且，，，根据余弦定理得：，即，可得，，则，解得：，即边的最小值为.故选：c.2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为a．b．c．d．【答案】b【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得，化简即可求解解：，，，，整理可得，，则故选：．3.已知中，，，成等比数列，则的取值范围是a．b．c．d．【答案】b【详解】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选b.,【题型六】最值与范围4：均值不等式【典例分析】锐角中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）a．(）b．(）c．[)d．[，1)【答案】c先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：c．【变式演练】1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（>b&gt;c)，已知不等式1a&minus;b+1b&minus;c&ge;ta&minus;c恒成立，则当实数t取得最大值T时，TcosB的取值范围是A．0,125B．2,125C．[2,23]D．(2,4)【答案】B【解析】把不等式1a&minus;b+1b&minus;c&ge;ta&minus;c变形为t&le;a&minus;ca&minus;b+a&minus;cb&minus;c=2+b&minus;ca&minus;b+a&minus;bb&minus;c，用基本不等式可以求出，当b=a+c2时，实数t的最大值T=4，用余弦定理表示出TcosB=3a2+3c2&minus;2ac2ac，在锐角中，由a&gt;b&gt;c，b=a+c2，可以求出ca的取值范围，利用函数y=m+1m的单调性，可以求出TcosB的取值范围.【详解】1a&minus;b+1b&minus;c&ge;ta&minus;c&rArr;t&le;a&minus;ca&minus;b+a&minus;cb&minus;c∵a&minus;ca&minus;b+a&minus;cb&minus;c=a&minus;b+b&minus;ca&minus;b+a&minus;b+b&minus;cb&minus;c=2+b&minus;ca&minus;b+a&minus;bb&minus;c当且仅当a&minus;b=b&minus;c即时（此时b=a+c2）取得最小值4，&there4;t&le;4，&there4;T=4，&there4;TcosB=4cosB=4&times;a2+c2&minus;b22ac=2&times;a2+c2&minus;a+c22ac=3a2+3c2&minus;2ac2ac，因为a&gt;b&gt;c，所以b2+c2&gt;a2，代入化简得5ca2+2ca&minus;3&gt;0&hArr;35<ca<1，令m=ca，35<m<1，y=m+1m在区间35,1上单调递减，所以1+11<m+1m<35+53，∴321+11−1<32ac+ca−1<3235+53−1，即2<3235+53−1<125，∴2<tcosb<125.故选b.3.已知的面积为，，则的最小值为（）,a．b．c．d．【答案】b【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.【详解】解：，又，==，当且仅当时，等号成立.故选：b.【题型七】最值与范围5：周长最值【典例分析】已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】利用正弦定理将条件中的边化成角的关系，从而求得的值，再利用三角形的面积公式和余弦定理可求得的值，即可得答案；【详解】由已知可得，由正弦定理可得.；．∵角为锐角，．的面积为2，，．由余弦定理可得，即．故选：b.,【变式演练】1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（）a．b．c．d．【答案】a【解析】【分析】根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角a的值；利用余弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围．【详解】∵，，可得，，解得，∵，∴由余弦定理可得∵由，，得，∴，即．∴周长．故选a2.在中，角所对的边分别为，若sina+cos(a+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是a．[6,8)b．[6,8]c．[4,6)d．(4,6]【答案】a【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（a+π3）=32，结合的范围可求，再由余弦定理求得a2=16−3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵sina+cos(a+π6)=32，∴sina+32cosa−12sina=32，可得：sin（a+π3）=32，∵a∈（0，π），a+π3∈（π3，4π3），∴a+π3=2π3，解得a=π3，,∵b+c=4，∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosa=（b+c）2−2bc−bc=16−3bc，∵由b+c=4，b+c≥2bc，得0＜bc≤4，∴4≤a2＜16，即2≤a＜4．∴周长l=a+b+c=a+4∈[6，8）．故选a．3..在锐角三角形abc中，若，且满足关系式，则的取值范围是（）a．b．c．d．【答案】c根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.【详解】因为，故可得，又，故可得.因为，故可得整理得，则.故可得，因为，故可得.则故可得.故选：c.【题型八】面积1:消角【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】c【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．解：在中，由余弦定理得，且的面积，,由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：c.【变式演练】1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】c由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．【详解】∵为锐角三角形，且，∴，∴，，又∵，,∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，则，又∵函数在上单调递增，∴函数值域为，故选：c2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．【答案】【分析】根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可【详解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，，其中，又，若存在最大值，即有解，即，解得，即的范围是．3.已知△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c．角b为钝角．设△abc的面积为s，若，则sina+sinc的最大值是____________．【答案】【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，b为钝角知,，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.【详解】由题设，，则，∴，又b为钝角即为锐角，∴，即，又，∴且，而，∴当时，的最大值为.故答案为：【题型九】面积2：正切代换【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）．a．b．c．d．【答案】d【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．解：中，由余弦定理得，，且的面积为，由，得，化简得；又，，所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；因为所以，所以，,由，且，，解得，所以，所以，所以；设，其中，所以，又，所以时，取得最大值为，时，，时，，且，所以，即的取值范围是．故选：．【变式演练】1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.【详解】如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，,所以又因为所以，即，解得：或（舍）所以.故选：b.2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】d【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得a的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于c的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．解：△abc中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△abc为锐角三角形，∴,∴，∴，∴,∴，故选：d．【题型十】最值与范围6：建系设点【典例分析】已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形,面积的最大值是（）a．b．c．d．【答案】c【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最大距离，代入三角形面积公式计算.【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最大距离为：，所以面积的最大值为.故选：c【变式演练】1.已知的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）a．4b．c．6d．,【答案】c【分析】应用正弦定理把中的“角”转化为“边”，利用余弦定理求出角的值，接下来有两个思路．思路一：先根据面积为求得的值，从而利用基本不等式求得，再把周长用表示出来，最后利用函数的单调性求出的周长的最小值；思路二：建立恰当的平面直角坐标系，设出点和点的坐标，根据面积为，得到两个变量之间的关系，从而用其中一个变量表示出的周长，再利用基本不等式求出的周长的最小值．【详解】解法一：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，由得，则，所以，因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；解法二：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．故选：c2.在中，记角a，b，c所对的边分别是a，b，c，面积为s，则的最大值为______【答案】,【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.3.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,点,分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠bac=90°,ab=ac=4,那么,两点间距离的a．最大值是42,最小值是4b．最大值是8,最小值是4c．最大值是42,最小值是d．最大值是8,最小值是【答案】a【分析】设bc与x轴的夹角为（0≤θ≤π），通过数形结合，分情况分析,两点间距离，进而得解.【详解】设bc与x轴的夹角为（0≤θ≤π），e为△abc的中点，当θ=0时，如图：,易知oa=4；当0<θ<π4时，a,o,e三点构成如图三角形，根据题意，可知∠obc=∠boe，∠aeb=π2,ae=oe=22，则∠aeo=π2+2θ,∴cos∠aeo=cosπ2+2θ=−sin2θ,2θ∈0,π2，∴oa2=oe2+ae2−2oe⋅aecos∠aeo=16+16sin2θ即16<oa2<32，解得4<oa<42；当θ=π4时，如图,四边形aboc是正方形，oa=42当π4<θ<π时，a,o,e三点构成如图三角形，∴∠aeo=π2+π−2θ,∴cos∠aeo=cosπ2+π−2θ=−sin2θ，2θ∈π2，π同理可求得4<oa<42；当θ=π时，易求得oa=4。故oa的最大值是，最小值是4故选a,【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围【典例分析】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为a．b．c．d．【答案】c【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵，∴所以因此设，∵是锐角三角形，∴，∴∴，在上单调递增，∴，故选：c【变式演练】1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（）a．2b．4c．6d．8【答案】d【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到，再根据正切公式得到，最后再换元，利用基本不等式求最小值.【详解】由正弦定理可知,又因为，所以，,因为是锐角三角形，所以,上式两边同时除以，可得，①又因为，,，令，由①可知所有，，当且仅当时，即时，取等号，此时，所以的最小值是8.故选：d2.在锐角△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosc=3b2，则的最小值是_______．【答案】6【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得2(sin2a−sin2b)=sin2c，再利用正弦平方差定理化简可得sinacosb=3cosasinb⇒tana=3tanb，然后tana=x,tanb=3x，表示出tanc=4x3x2−1，构造函数求最值即可得出答案.【详解】根据题意，已知a2+2abcosc=3b2，由余弦定理得a2+2aba2+b2−c22ab=3b2，化简得2(a2−b2)=c2由正弦定理：2(sin2a−sin2b)=sin2c即2sin(a+b)sin(a−b)=sin2c（正弦平方差）整理可得：2sinacosb−2cosasinb=sinacosb+cosasinb即sinacosb=3cosasinb⇒tana=3tanb设tana=x,tanb=3x因为为锐角三角形，所以tana>0,x&gt;0此时tanC=&minus;tan(A+B)=&minus;tanA+tanB1&minus;tanA&sdot;tanB即tanC=4x3x2&minus;1所以tanAtanBtanC=12x33x2&minus;1令f(x)=12x33x2&minus;1(x&gt;0)f&#39;(x)=36(x2+1)(x2&minus;1)(3x2&minus;1)2当f&#39;(x)&gt;0,x&gt;1，f(x)递增；当f&#39;(x)&lt;0,0</ca<1，令m=ca，35<m<1，y=m+1m在区间35,1上单调递减，所以1+11<m+1m<35+53，∴321+11−1<32ac+ca−1<3235+53−1，即2<3235+53−1<125，∴2<tcosb<125.故选b.3.已知的面积为，，则的最小值为（）,a．b．c．d．【答案】b【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.【详解】解：，又，==，当且仅当时，等号成立.故选：b.【题型七】最值与范围5：周长最值【典例分析】已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】利用正弦定理将条件中的边化成角的关系，从而求得的值，再利用三角形的面积公式和余弦定理可求得的值，即可得答案；【详解】由已知可得，由正弦定理可得.；．∵角为锐角，．的面积为2，，．由余弦定理可得，即．故选：b.,【变式演练】1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（）a．b．c．d．【答案】a【解析】【分析】根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角a的值；利用余弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围．【详解】∵，，可得，，解得，∵，∴由余弦定理可得∵由，，得，∴，即．∴周长．故选a2.在中，角所对的边分别为，若sina+cos(a+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是a．[6,8)b．[6,8]c．[4,6)d．(4,6]【答案】a【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（a+π3）=32，结合的范围可求，再由余弦定理求得a2=16−3bc，再由基本不等式，求得bc的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵sina+cos(a+π6)=32，∴sina+32cosa−12sina=32，可得：sin（a+π3）=32，∵a∈（0，π），a+π3∈（π3，4π3），∴a+π3=2π3，解得a=π3，,∵b+c=4，∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosa=（b+c）2−2bc−bc=16−3bc，∵由b+c=4，b+c≥2bc，得0＜bc≤4，∴4≤a2＜16，即2≤a＜4．∴周长l=a+b+c=a+4∈[6，8）．故选a．3..在锐角三角形abc中，若，且满足关系式，则的取值范围是（）a．b．c．d．【答案】c根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.【详解】因为，故可得，又，故可得.因为，故可得整理得，则.故可得，因为，故可得.则故可得.故选：c.【题型八】面积1:消角【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】c【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．解：在中，由余弦定理得，且的面积，,由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：c.【变式演练】1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】c由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．【详解】∵为锐角三角形，且，∴，∴，，又∵，,∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，则，又∵函数在上单调递增，∴函数值域为，故选：c2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．【答案】【分析】根据正弦定理、余弦定理化简得到，再利用正弦定理与三角恒等变换将化简为，再根据存在最大值，分析的范围列式即可【详解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，，其中，又，若存在最大值，即有解，即，解得，即的范围是．3.已知△abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c．角b为钝角．设△abc的面积为s，若，则sina+sinc的最大值是____________．【答案】【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，b为钝角知,，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.【详解】由题设，，则，∴，又b为钝角即为锐角，∴，即，又，∴且，而，∴当时，的最大值为.故答案为：【题型九】面积2：正切代换【典例分析】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）．a．b．c．d．【答案】d【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．解：中，由余弦定理得，，且的面积为，由，得，化简得；又，，所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；因为所以，所以，,由，且，，解得，所以，所以，所以；设，其中，所以，又，所以时，取得最大值为，时，，时，，且，所以，即的取值范围是．故选：．【变式演练】1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）a．b．c．d．【答案】b【分析】利用三角形边角关系，将转化为关于边的方程，解得边，进而由三角形的面积公式，直接求出面积即可.【详解】如图，过作,交的延长线于，因为，则,，，,所以又因为所以，即，解得：或（舍）所以.故选：b.2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）a．b．c．d．【答案】d【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得a的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于c的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．解：△abc中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△abc为锐角三角形，∴,∴，∴，∴,∴，故选：d．【题型十】最值与范围6：建系设点【典例分析】已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形,面积的最大值是（）a．b．c．d．【答案】c【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最大距离，代入三角形面积公式计算.【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，设，因为，所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最大距离为：，所以面积的最大值为.故选：c【变式演练】1.已知的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（）a．4b．c．6d．,【答案】c【分析】应用正弦定理把中的“角”转化为“边”，利用余弦定理求出角的值，接下来有两个思路．思路一：先根据面积为求得的值，从而利用基本不等式求得，再把周长用表示出来，最后利用函数的单调性求出的周长的最小值；思路二：建立恰当的平面直角坐标系，设出点和点的坐标，根据面积为，得到两个变量之间的关系，从而用其中一个变量表示出的周长，再利用基本不等式求出的周长的最小值．【详解】解法一：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，由，得，由得，则，所以，因为，所以，则，当且仅当时等号成立，的周长为，易知是关于的增函数，所以当时，的周长最小，为；解法二：因为，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因为，所以，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以可设，则，即，所以的周长为，当且仅当时等号成立，所以的周长的最小值为6．故选：c2.在中，记角a，b，c所对的边分别是a，b，c，面积为s，则的最大值为______【答案】,【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.3.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,点,分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠bac=90°,ab=ac=4,那么,两点间距离的a．最大值是42,最小值是4b．最大值是8,最小值是4c．最大值是42,最小值是d．最大值是8,最小值是【答案】a【分析】设bc与x轴的夹角为（0≤θ≤π），通过数形结合，分情况分析,两点间距离，进而得解.【详解】设bc与x轴的夹角为（0≤θ≤π），e为△abc的中点，当θ=0时，如图：,易知oa=4；当0<θ<π4时，a,o,e三点构成如图三角形，根据题意，可知∠obc=∠boe，∠aeb=π2,ae=oe=22，则∠aeo=π2+2θ,∴cos∠aeo=cosπ2+2θ=−sin2θ,2θ∈0,π2，∴oa2=oe2+ae2−2oe⋅aecos∠aeo=16+16sin2θ即16<oa2<32，解得4<oa<42；当θ=π4时，如图,四边形aboc是正方形，oa=42当π4<θ<π时，a,o,e三点构成如图三角形，∴∠aeo=π2+π−2θ,∴cos∠aeo=cosπ2+π−2θ=−sin2θ，2θ∈π2，π同理可求得4<oa<42；当θ=π时，易求得oa=4。故oa的最大值是，最小值是4故选a,【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围【典例分析】在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为a．b．c．d．【答案】c【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵，∴所以因此设，∵是锐角三角形，∴，∴∴，在上单调递增，∴，故选：c【变式演练】1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（）a．2b．4c．6d．8【答案】d【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到，再根据正切公式得到，最后再换元，利用基本不等式求最小值.【详解】由正弦定理可知,又因为，所以，,因为是锐角三角形，所以,上式两边同时除以，可得，①又因为，,，令，由①可知所有，，当且仅当时，即时，取等号，此时，所以的最小值是8.故选：d2.在锐角△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosc=3b2，则的最小值是_______．【答案】6【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得2(sin2a−sin2b)=sin2c，再利用正弦平方差定理化简可得sinacosb=3cosasinb⇒tana=3tanb，然后tana=x,tanb=3x，表示出tanc=4x3x2−1，构造函数求最值即可得出答案.【详解】根据题意，已知a2+2abcosc=3b2，由余弦定理得a2+2aba2+b2−c22ab=3b2，化简得2(a2−b2)=c2由正弦定理：2(sin2a−sin2b)=sin2c即2sin(a+b)sin(a−b)=sin2c（正弦平方差）整理可得：2sinacosb−2cosasinb=sinacosb+cosasinb即sinacosb=3cosasinb⇒tana=3tanb设tana=x,tanb=3x因为为锐角三角形，所以tana></c<π2⇒12<sinc<1⇒cb=sincsinb=233sinc∈(33,233)故选b.【题型四】最值与范围2：余弦定理【典例分析】在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+ba的最大值为a．2b．4c．25d．【答案】c【分析】利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcosc，结合三角形面积为18c2可得c2=4absinc，ab+ba可化为=4sinc+2cosc=25sin(c+φ)，从而可得结果.【详解】由题意得，s=12absinc=18c2，∴c2=4absinc，又c2=a2+b2−2abcosc，∴a2+b2=c2+2abcosc，∴ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcoscab=4absinc+2abcoscab=4sinc+2cosc=25sin(c+φ)，则ab+ba的最大值为25，故选c【变式演练】1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sina=2sinbsinc，则cb+bc取得最大值时，内角的值为,a．b．π4c．d．【答案】b【分析】将正弦定理平方处理，即可将恒等式转化为a2=2bcsina，再代入余弦定理，从而将cb+bc转化为2(sina+cosa)，再利用辅助角公式即可求出使得式子取最大值的a值.【详解】由sina=2sinbsinc，根据正弦定理，a2sin2a=bcsinbsinc，可得a2=2bcsina，再由，得b2+c2=2bc(cosa+sina)，所以cb+bc=b2+c2bc=2bc(cosa+sina）bc=2(sina+cosa)=22sin(a+π4)，所以当a=π4时，cb+bc取得最大值，答案为b.2.满足条件的三角形的面积的最大值是a．b．c．d．【答案】d【解析】【详解】分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的面积表达式，再根据的取值范围，即可求解面积的最大值.详解：设，则，根据面积公式得，根据余弦定理得，代入上式，得，由三角形的三边关系可得，解得，故点时，取得最大值，故选d.3.,则的最大面积为a．3b．c．2d．无法确定【答案】b【详解】分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值.详解：，由余弦定理及得，，的面积，当时，即，的面积有最大值，的最大面积是，故选b.【题型五】最值与范围3：辅助角【典例分析】在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（）a．b．c．d．【答案】a【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.【详解】，，则设所以，即，故选：a.【变式演练】1.若面积为1的满足，则边的最小值为（）a．1b．c．d．2【答案】c【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求,，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．解：的面积，且，，，根据余弦定理得：，即，可得，，则，解得：，即边的最小值为.故选：c.2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为a．b．c．d．【答案】b【分析】由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可得，化简即可求解解：，，，，整理可得，，则故选：．3.已知中，，，成等比数列，则的取值范围是a．b．c．d．【答案】b【详解】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选b.,【题型六】最值与范围4：均值不等式【典例分析】锐角中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）a．(）b．(）c．[)d．[，1)【答案】c先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：c．【变式演练】1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（>