高考数学重难点题型归纳第10讲 导数压轴大题14种题型（1）（原卷版）

第10讲导数压轴大题14类（1）【题型一】求参1：端点值讨论型【典例分析】设函数f(x)=lnx-p(x-1),pR（1）当p=1时，求函数f（x)的单调区间；（2）设函数g(x)=xf(x)+p(2x-x-1)对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围。【变式演练】1.试卷若函数的反函数记为，已知函数．（1）设函数，试判断函数的极值点个数；（2）当时，，求实数的取值范围．2.设函数．（1）当时，设，求证：对任意的，；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【题型二】求参2：“存在”型【典例分析】设函数，曲线处的切线斜率为0(Ⅰ)求b；(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。【变式演练】1.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程;（Ⅱ）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围.,2.记表示中的最大值，如.已知函数，.（1）设，求函数在上零点的个数；（2）试探究是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【题型三】求参3：“恒成立”型【典例分析】已知函数f(x)=2−alnx+1x+2ax.（1）当a=0时，求函数的极值；（2）当a<0时，讨论函数的单调性；（3）若对任意的a∈−∞,−2，x1,x2∈1,3，恒有t+ln3a−2ln3>fx1−fx2成立，求实数t的取值范围.【变式演练】1.已知函数fx=x3+bx2+2x−1,b∈R，（1）设gx=fx+1x2，若函数gx在0,+∞上没有零点，求实数b的取值范围；（2）若对∀x∈1,2，均∃t∈1,2，使得et−lnt−4≤fx−2x，求实数b的取值范围.2.已知函数fx=x2+2mlnx−m+4x+lnm+2.（1）当m=4时，求函数fx在区间1,4上的值域；（2）当m>0时，试讨论函数fx的单调性；（3）若对任意m∈1,2，存在x∈3,4，使得不等式fx>am−m2+2mln4−1成立，求实数a的取值范围.,【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则”【典例分析】设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．【变式演练】1.设函数.⑴求的单调区间和极值;⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.2.已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线为y=g(x).（1）证明：对于，f(x)g(x);（2）当x0时，f(x)1+,恒成立，求实数a的取值范围。【题型五】同构求参5：绝对值同构求参型【典例分析】已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。【变式演练】1.已知函数，其中.（I）讨论函数的单调性；（II）若，证明：对任意，总有.,2.已知．（1）求的单调区间；（2）令，则时有两个不同的根，求的取值范围；（3）存在，且，使成立，求的取值范围．【题型六】同构求参6：x1与x2构造新函数型【典例分析】已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【变式演练】1.已知函数.（1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；（2）若对任意，且恒成立，求的取值范围.2.（构造巧）已知函数f(x)=(x−1)ex−t2x2，其中t∈R.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当t=3时，证明：不等式恒成立（其中x1∈R，x1>0）.【题型七】零点型【典例分析】已知函数，.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若，判断的单调性；,（Ⅲ）若有两个零点，求的取值范围.【变式演练】1.已知函数，．(1)求证：在区间上无零点；(2)求证：有且仅有2个零点．2.已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx.（1）若函数有三个零点x1,x2,x3，且x1+x2+x3=92，，求函数的单调区间；（2）若f'(1)=−12a，3a>2c>2b，试问：导函数f'(x)在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由.（3）在（2）的条件下，若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于3，求ba的取值范围.【题型八】不确定根型【典例分析】已知函数f(x)=lnx+2x．（1）求函数f(x)在[1 , +∞)上的值域；（2）若∀x∈[1 , +∞)，lnx(lnx+4)≤2ax+4恒成立，求实数a的取值范围．【变式演练】1.已知函数f(x)=ex+12(x−1)2，g(x)=12x2+2x−lnx（1）求函数f(x)的最小值；（2）当a>0时，对任意x∈(0,+∞)时，不等式af'(x)≥(a+1)g'(x)−x−a恒成立，求a的取值范围.2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0，且,又函数g(x)=kxex与函数y=ln(x+1)的图像在原点处有相同的切线.(1)求函数f(x)的解析式及k的值.⑵若f(x)≤g(x)-m+x+1对于任意x∈[O,+]恒成立，求m的取值范围,【题型九】取整讨论型【典例分析】已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立,求整数的最大值．【变式演练】1.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若不等式有唯一正整数解，求实数的取值范围．2.已知函数，为其导函数，且时有极小值-9.（1）求的单调递减区间；（2）若，，当时，对于任意，和的值至少有一个是正数，求实数的取值范围；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.【题型十】证明不等式1：基础型【典例分析】设函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜x−1lnx＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．【变式演练】,1.设函数=，.证明：（I；（II）.2.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.求的值及函数的极值；证明：当时，【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型【典例分析】已知函数若函数在x=0处取得极值．(1)求实数的值；(2)若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；(3)证明：对任意的自然数n，有恒成立．【变式演练】1.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）试证明：（…，）.2.已知函数（1）若函数在区间上存在极值，其中a>0，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证:。,【题型十二】证明不等式3：数列不等式之无限求和型【典例分析】已知函数为大于零的常数。（1）若函数内调递增，求a的取值范围；（2）求函数在区间[1，2]上的最小值。（3）求证：对于任意的成立。【变式演练】1.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：.2.已知函数　.(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)证明：…【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型【典例分析】设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x).(1)若当时，函数f（x）的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围；（2）求证：。【变式演练】1.设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m>n>0时，.,2.已知函数．（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（为自然对数的底数）．【题型十四】证明不等式5：凑配主元型【典例分析】已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数问题(3)当时，证明不等式.【变式演练】1.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．2.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明：.【课后练习】1.已知函数．（1）若在处取得极小值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；,2.已知函数f(x)=mx--lnx,mR,函数在[1,+)上为增函数,且.(I)当m=0时,求函数f(x)的单调区间和极值;(II)求θ的值;(III)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求m的取值范围.3.已知函数，．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）证明：当时，函数在区间内存在唯一零点．4.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；5.设函数f(x)＝ex－ax－2.（1）求f(x)的单调区间；（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．6.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.7.已知函数．(1)若在上是增函数，求的取值范围；(2)若,证明：.,8.、已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：9.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数问题(3)当时，证明不等式.10.已知函数（1）若，求函数在区间的最小值；（2）若讨论函数在的单调性；（3）若对于任意的求的取值范围。11.设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．12.已知函数，其中，．（1）讨论函数在区间，上的单调性；（2）求证：．,13.已知函数.（1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；（2）设，且，求证.