高考数学重难点题型归纳第11讲 导数压轴大题14种题型（2）（原卷版）

第11讲导数压轴大题14类（2）【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型【典例分析】已知，.（1）求函数的单调区间；（2）对一切，恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.【变式演练】1.已知．（1）求函数的极值；（2）证明：对一切，都有成立．2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：.【题型二】不等式证明7：三角函数与导数不等式【典例分析】已知函数，，．（1）若在上单调递增，求a的最大值；（2）当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．【变式演练】1.设函数.（1）求的极值点； （2）设函数.证明：.2.已知函数（1）若，成立，求实数的取值范围;（2）证明：有且只有一个零点，且．【题型三】不等式证明8：极值点偏移之不含参型【典例分析】.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【变式演练】1.已知函数.（1）当时，判断在区间上的单调性；（2）当时，若，且的极值在处取得，证明：.2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.【题型四】不等式证明9：极值点偏移之含参型【典例分析】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（1）求证：． 【变式演练】1..已知函数.（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：；（3）设函数的两个零点、，求证：.2.已知函数.（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；②.【题型五】不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式【典例分析】已知函数在处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）当时，若函数的3个极值点分别为，，，求证：．【变式演练】1.已知函数.（1）若曲线在处的切线斜率为，求实数的值；（2）若函数有3个不同的零点，，，求实数的取值范围，并证明：.2.已知函数f(x)=ex−ax21+x．（1）若a=0，讨论f(x)的单调性． （2）若f(x)有三个极值点x1，x2，x3．①求a的取值范围；②求证：x1+x2+x3>−2．【题型六】不等式证明11：比值代换（整体代换等）【典例分析】已知函数（为常数，且）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若有两个极值点，，证明：.【变式演练】1.已知函数，.（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.2.和是关于的方程的两个不同的实数根.（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：.【题型七】不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致）【典例分析】已知，. （1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，是的极值点，求证：.【变式演练】1.已知函数．（1）讨论函数零点的个数；（2）若函数恰有两个零点，证明．2.已知函数既有极大值，又有极小值.（1）求实数的取值范围；（2）记为函数的极小值点，实数且，证明：.【题型八】不等式证明12：韦达定理型【典例分析】已知函数．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．【变式演练】1.已知函数，在定义域上有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）求证:2.已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，证明：当，，，． 【题型九】不等式证明13：利用第一问【典例分析】已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若正数m，n满足，求证．【变式演练】1.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：.2..已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）证明：.【题型十】不等式证明14：含ex和lnx型【典例分析】已知函数．（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明：．【变式演练】1.已知函数，. （1）讨论的单调性；（2）当时，证明：，.2.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明【典例分析】设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：．【变式演练】1.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；（2）若，证明：.2.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求证：．【题型十二】不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型）【典例分析】 已知函数，．（1）求函数的极值；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（3）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．【变式演练】1.已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：.2.已知函数.（1）设曲线在处的切线为，求证：；（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明【典例分析】已知函数．（1）设函数，讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点，（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：． 【变式演练】1.已知.（1）证明：是上的增函数，（2）若，且，证明：.2.已知函数.（1）讨论零点的个数；（2）设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.【题型十四】综合证明：x1与x2型【典例分析】已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求证：．【变式演练】1.已知函数，，，是两个任意实数且．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；（3）求证：． 2..已知函数．（1）若函数在点处的切线斜率为，求的值．（2）若函数存在减区间，求的取值范围．（3）求证：若，，都有．【课后练习】1.已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中是的导函数．证明：对任意，．2.已知函数.（1）设且，求函数的最小值；（2）当，证明：.3.已知函数.（1）求函数的极大值；（2）设实数a，b互不相等，且，证明：.4.若．（1）当，时，讨论函数的单调性；（2）若，且有两个极值点，，证明． 5.已知函数.（1）求的极值.（2）若，，证明：.6.已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.7.已知函数.（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则请说明理由；（2）若函数恰好有两个零点、，求证：.8.已知是函数的一个极值点.（1）求的值；（2）证明：.9.已知函数．（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．10.已知函数，.（1）若恒成立，求实数m的取值范围；（2）求证：当时，.11.已知函数，. （1）若，求函数的最大值；（2）若，（i）求过原点且与曲线相切的直线方程；（ii）设，为方程()的解，求证：.12.已知函数，（1）求的极值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）已知，，且，求证：．13.已知函数，gx=x−1x�(x>0)（1）不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值集合；（2）若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数a的取值集合（3）设，，若函数有两个极值点，且，求证：.