高考数学方法技巧第24讲 数列求和的常见方法（原卷版）

第24讲数列求和的常见方法数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.方法一公式法第一步结合所求结论，寻找已知与未知的关系；第二步根据已知条件列方程求出未知量；第三步利用前项和公式求和结果例1.设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．【变式演练1】【四川省名校联盟高考模拟信息卷】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{an－1}的前n项和Tn.方法二分组求和法第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.例2.已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项Sn.【变式演练2】【江苏省徐州市沛县高三上学期第一次学情调研】已知数列的前项和为，满足，，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.方法三裂项相消法第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；7/7 第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例3.已知数列:,,,…,,…,若，那么数列的前项和为（）A．B．C.D．[来【变式演练3】【广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测】已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项和.【变式演练4】设数列满足，若，且数列的前项和为，则（）A．B．C．D．方法四错位相减法第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公式；第三步构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步求和：根据差式的特征准确求和.例4.已知数列满足，.记，则数列的前项和__________．【变式演练5】【广西南宁市普通高中高三10月摸底测试】设数列满足，.（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记，求数列的前n项和.方法五倒序相加法第一步列出前n项和；第二步按倒序列出前n项和；第三步两式相加；7/7 第四步得出结果.例5.【湖北省武汉市三校联合体高三期中】已知函数，则（）A．2018B．2019C．4036D．4038【变式演练6】【江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知，数列满足，则__________．方法六并项求和法第一步按给定数列的特点进行分类讨论；第二步将通项加和进行分析；第三步加和后的数列作为新数列求和；第四步得出结果.例6.【贵州省遵义市高三上学期第一次联考】已知数列满足，则数列的前32项之和为__________.【变式演练7】【陕西省西安市高新一中高三上学期期末】已知数列满足，则数列的前40项和为________.【反馈练习】1．【安徽省皖江名校联盟高三下学期5月联考】数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．2．【河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研】著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则()7/7 A．2020B．4038C．4039D．40403．已知数列中，，（…是自然对数的底数）．记数列的前项和为，则（）A．B．C．D．4．【湖南省长沙市长郡中学高考模拟】已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．5．【湖南省衡阳市高三下学期三模】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前n项和，则的值为______.6．函数在点处的切线记为，直线，及轴围成的三角形的面积记为，则__________.7．【天津市和平区高三上学期期中】已知数列的前项和，数列满足：，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求．8．【山东省枣庄市滕州一中高三10月月考】已知函数，，，数列，满足，，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.9．【安徽省马鞍山市高三数学（理科）二模】已知数列、、中，，，，．（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．7/7 10．【广西南宁三中高三数学（理科）考试四】已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.11．【天津市滨海七校高三下学期毕业班联考】已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.（1）求数列与数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和.12．【山东省临沂市第十九中学高三上学期质量调研考】已知公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．13．【云南省曲靖市第一中学高三上学期高考复习质量监测】已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.14．【福建省泉州市高三毕业班质量检测】已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和15．【重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考】已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16．【福建省福州第一中学高三下学期开学质检】已知等差数列的前项和为，且，7/7 .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.17．已知数列的前项和为，数列满足，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.18．已知正项数列及其前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为．若不等式对任意都成立，求的取值范围．19．已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．20．已知数列的前项和，令，其中表示不超过的最大整数，，.（1）求；（2）求；（3）求数列的前项之和.21．已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）求，的通项公式；（2）求的前n项和．22．已知数列的前项和为，且满足，设．（1）分别求和的通项公式；（2）求数列的前项和．7/7 23．已知各项均为正数的数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若求数列的前n项和．24．已知数列中，，其前项和满足.（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.25．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．已知数列的前项和为，且，，，在公差不为0的等差数列中且，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，求的前项和．27．已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项．（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围．28．等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.29．已知数列满足，.（1）求证数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.7/7