高考数学方法技巧第23讲 数列通项公式的求解策略（原卷版）

第23讲数列通项公式的求解策略在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。方法一数学归纳法第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例1若数列的前n项和为，且方程有一个根为－1，n=1,2,3..(1)求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明【变式演练1】【浙江省宁波市余姚中学高三月考】设数列满足，，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.方法二已知求第一步利用满足条件，写出当时，的表达式；第二步利用，求出或者转化为的递推公式的形式；第三步根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.例2在数列中，已知其前项和为，则__________．【变式演练2】【云南省曲靖市第一中学高三上学期高考复习质量监测】已知数列满足，若，则数列的前项和________.方法三累加法第一步将递推公式写成；第二步依次写出，并将它们累加起来；第三步得到的值，解出；第四步检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.8/8,例3数列满足，对任意的都有，则（）A、B、C、D、【变式演练3】若数列满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．方法四累乘法第一步将递推公式写成；第二步依次写出，并将它们累加起来；第三步得到的值，解出；第四步检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例4已知数列满足【变式演练4】【内蒙古赤峰市高三（5月份）高考数学（理科）模拟】设数列中，若等比数列满足，且，则__.方法五构造法一第一步假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系数法，解得；第三步写出数列的通项公式；第四步写出数列通项公式.例5已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。【变式演练5】【南昌市高三数学（理科）零模】已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________.方法六构造法二8/8,第一步假设将递推公式改写为；第二步由待定系数法，求出的值；第三步写出数列的通项公式；第四步写出数列通项公式.例6已知数列满足，求数列的通项公式。【变式演练6】【新疆乌鲁木齐第70中学高三月考】设数列中前项的和，则______.方法七构造法三第一步在递推公式两边同除以，得；第二步利用方法五，求数列的通项公式；第三步写出数列通项公式.例7已知数列满足，，求数列的通项公式。【变式演练7】【内蒙古赤峰二中高三月考】已知数列中，，，则______．方法八构造法四第一步假设将递推公式改写成；第二步利用待定系数法，求出的值；第三步求数列的通项公式；第四步根据数列的通项公式，求出数列通项公式.例8数列中，，求数列的通项公式。【变式演练8】【浙江省高三下学期6月新高考进阶】在数列中，，，.（1）求的通项公式；（2），是数列的前项和，，求证：．方法九构造五第一步将递推公式两边取倒数得；第二步利用方法五，求出数列的通项公式；8/8,第三步求出数列通项公式.例9已知数列满足求数列的通项公式。【变式演练9】【广东省中山市华侨中学港澳台班高三月考】数列中，则_____________.方法十构造六第一步对递推公式两边取对数转化为；第二步利用方法五，求出数列的通项公式；第三步求出数列通项公式.例10若数列{}中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。【变式演练10】【湖南省长沙市雅礼中学高三月考】已知数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【反馈练习】1．【重庆市第八中学高三上学期适应性月考】斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列满足，，设，则（）A．2019B．2020C．2021D．20222．（多选题）【江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研】黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则（）8/8,A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝03．【重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考】设数列的前项和为，已知，，若，则的最小值是______．4．【陕西省部分学校高三上学期摸底检测】已知数列的前项和为，若，则______．5．【浙江省山水联盟高三上学期开学考试】若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.6．【河北省石家庄市高三模拟（八）】已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.7．【山西省山西大学附属中学高三上学期9月模块诊断】在数列中，，，则__________．8．【安徽省淮南市寿县第一中学高三下学期最后一卷数学】已知数列满足，，，数列成等差数列.现从中选取这100个个体，从小到大依次编号为1，2，…，99，100，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10.现从每组中抽取一个号码，组成一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同.若，则在第8组中抽取的号码所对应数列的项的值是________.9．【湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三下学期高考押题】若数列{an}满足a1＝2，an+1，a2020＝_____.8/8,10．【广东省汕头市金山中学四校高三上学期10月联考】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_______，_______.11．【浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考】已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．12．若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．13．在数列中，，，则______．14．已知数列满足，则的最小值为___________.15．数列满足，且，则数列前项的和为_________．16．【海南、山东等新高考地区高三上学期期中备考金卷】已知数列的前项和为，且，数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.17．【广东省高三上学期10月联考】给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列的通项公式；.（2）设数列满足，求数列的前n项和.18．【江西省赣州市会昌县七校高三联合月考】已知数列中，且．数列中，且（）．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和为，并求使得恒成立的最大正整数的值．19．【广东省高三上学期新高考适应性测试（一）】已知数列的前项和为，，且满足8/8,.（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．21．已知数列，，．，数列的前项和为，（）．（1）求的值和的通项公式；（2）令，求．22．在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知数列中，，__________.（1）求；（2）若数列的前项和为，证明：.23．已知数列满足：，．（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．（2）设，求数列的前项和．24．已知为数列的前n项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为，求数列的前m项和．25．已知正项数列的前n项和为，，当时，是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.8/8,26．已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.27．已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求.28．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分8/8