高考数学方法技巧第17讲 求三角函数最值的常见题型及解题策略（解析版）

第17讲求三角函数最值的常见题型及解题策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.[来源:学方法一化一法万能模板内容使用场景函数表达式形如类型解题模板第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式；第二步利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例1已知函数，则在上的最大值与最小值之差为．【答案】【解析】第一步，运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式：第二步，利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式：第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值：当时，，故，即函数的值域为，故答案为．考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，,，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．【变式演练1】【湖北省鄂东南省级示范高中教学改革联盟高三下学期6月模拟】已知函数，则在区间上（）A．既有最大值，又有最小值B．有最大值，没有最小值C．有最小值，没有最大值D．既没有最大值，也没有最小值【答案】B【分析】本题先对函数进行化简，再利用余弦型函数的图象与性质直接解题即可.【详解】解：，根据余弦型函数的图象与性质：，无最小值.故选：B【变式演练2】【天津市河西区高考一模】已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（）A．B．C．D．,【答案】A【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.【详解】解：由题可知，函数，则，由于的最小正周期为，，，又已知的图象关于轴对称，，，则，在区间上单调递增，可以令，此时，则函数，所以在区间上，则，，得，，所以，，即的值域为，.故选：A．【变式演练3】【四川省宜宾市高三高考适应性考试（三诊）】已知函数的最小正周期为，最大值为4，则（）A．B．C．D．,【答案】A【分析】先化简函数的解析式为，根据函数的最小正周期求出，根据函数的最大值求出的值得解.【详解】由题得所以，所以.由题得.故选：A【变式演练4】【海南省海口市华侨中学高三第一次月考】已知函数，（，，）的最小正周期为.（1）从①；②；③，都有这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数的解析式；（2）求（1）中所求得的函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最小值为-1，最大值为.【分析】（1）先根据周期得，①或③都能确定，所以选①②或②③，再根据②确定；（2）先根据自变量范围得范围，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，解得.选①②：,因为，所以，解得，.因为，所以.又因为，所以，即，所以.所以.选②③：因为，都有，所以时，取得最大值，即，所以，，所以，所以.又因为，所以，即，所以.所以.（2）因为，所以，,所以，当时，取得最小值为-1；当时，取得最大值为；所以取得最小值为-1，最大值为.【变式演练5】【湖南省湘潭市湘潭县一中高三下学期5月高考模拟】已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）在中，分别为角的对边，且满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）先化简得到，解不等式即得的单调递减区间；（2）化简已知得到，得到，再利用三角函数的图象和性质求的取值范围．【详解】（1），由，得，所以的单调递减区间为；（2）由条件，得，又由，得．,由，得，故.所以.的取值范围为．方法二配方法万能模板内容使用场景函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.例2函数的最小值为．【答案】【解析】第一步，先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数：令，所以第二步，利用函数单调性求解三角函数的最值：所以在上为增函数，在上为减函数第三步，得出结论：所以，故填．考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令，将其转化为关于的二次函数求最值问题.【变式演练5】函数的最大值是__________．【答案】,【解析】=，所以当时，有最大值．故答案为：.【变式演练6】函数的最小值是__________．【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=sin（x）x+，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈∴x+∈[0，]，所以：．∵函数g（t）=t2+t﹣1．开口向上，对称轴t=－，∴是单调递增．当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数的最大值与最小值.【反馈练习】1．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.对于下列四种说法，正确的是①函数的图象关于点成中心对称②函数在上有8个极值点③函数在区间上的最大值为，最小值为④函数在区间上单调递增A．①②B．②③C．②③④D．①③④【来源】黑龙江省大庆铁人中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）试试题【答案】B【详解】,，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.对于①，，故函数的图象不关于点成中心对称，所以①错误；对于②，由得，结合函数图象可得在上有8个极值点，所以②正确；对于③，由，得，则，所以的最大值为，最小值为，所以③正确；对于④，当时，，故函数在区间上不单调，所以④错误.故选B．2．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最大值为2B．函数的最小值为C．函数在上单调递减D．函数在内有且只有一个零点【来源】新高考高考最后一卷数学第四模拟【答案】BCD【分析】先用诱导公式及恒等变形，再通过换元成二次函数，研究这人二次函数就可以判断每一个选项.【详解】，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，为，当时，函数取得最小值，为，所以的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；当时，单调递减，且，此时单调递增，所以函数在上单调递减，C正确；当时，先增后减且，易知在内有且仅有一个零点，且，数形结合可知在内有唯一根，即函数在内有且只有一个零点，D正确.,故选：BCD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是换元思想的运用，二是数形结合思想的运用，三是单调性的研究.3．【吉林省梅河口市第五中学高三4月月考】已知函数，相邻两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（）A．B．0C．D．【答案】C【分析】由对称性和周期性关系可求得最小正周期，由此得到，根据图象平移和偶函数的定义可得到，由此求得，得到；利用的范围求得的范围，对应余弦函数图象可求得值域，进而得到最大值.【详解】函数相邻两个对称中心之间的距离为，，即，，，函数的图象向左平移个单位长度得到：，图象关于轴对称，，解得：，又，，，当时，，，，在上的最大值为.故选：.,4．【福建省三明市高三（5月份）高考（理科）数学模拟】关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递增；③在上有4个零点；④的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】A【分析】由绝对值的意义可得函数，由奇偶性的定义可判断①；由的符号，去绝对值可得，结合余弦函数的单调性可判断②；由，结合的解析式可判断③；由余弦函数的值域，结合的解析式可判断④．【详解】分段函数讨论.①由，故①正确；②时，，单调递增，故②正确；③时，，函数有无数个零点，故③错误；④函数为偶函数，故只需讨论x为正数的情况，当时，，最大值为2，当.故函数最大值为2，故④正确.故选：．5．【安徽省皖江名校联盟高三上学期11月第三次联考】函数部分图象如图所示，当时，,最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先结合图象求得的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最小值.【详解】由已知，由图象可知取，，故最小正周期，所以，所以，由，及图象单调性知，取，所以，，，最小值为.故选：D6．【四川省泸县第二中学高三上学期开学考试】函数向左平移个单位后图象关于y轴对称，则在上的最小值为（）A．B．1C．D．【答案】A【分析】,根据题意，先得到平移后的解析式，再由其对称性，由题中条件求出，得出，根据正弦函数的性质，即可求出最值.【详解】函数向左平移个单位后得到，因为平移后的图象关于y轴对称，所以，，即，，又，所以，故，因为，所以，因此当，即时，取得最小值.故选：A.7．【贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考】已知，则“直线与平行”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.【详解】若直线与平行，则，即，当，时，两直线方程为，，此时两直线重合，故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，故选：A．8.【广东省深圳实验学校高三上学期10月月考】已知，则函数的最小值为（）A．-5B．-3C．D．-1,【答案】A【分析】由可求出值，再将化为关于的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值.【详解】由，有，解得，故，故当时，取最小值.故选：A.9．【江西省乐平市第一中学高三上学期联考理】函数在上的值域为______.【答案】【分析】由已知可得，可求出的取值范围，进而求出的取值范围，进而得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以在上的值域为.故答案为：.10.【山东省德州市高三上学期期中考试】函数，则的最小值为__________.,【答案】【分析】先根据二倍角公式和诱导公式将函数化简为的形式即可求出答案.【详解】因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，故答案为：.11.【江苏省扬州市邗江区蒋王中学高三上学期第三次学情检测】已知函数和的图象的对称轴完全相同，且．若，则函数的值域是______．【答案】【分析】先根据函数和的图象的对称轴完全相同确定的值，再由的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．【详解】解：由题意可得，，，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是，故答案为：．12.【山东省淄博实验中学第一学期高三第一次模块考试】已知向量，,，函数．（1）若，求的取值范围；（2）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得，再由利用正弦函数的图象与性质，可得的取值范围；（2）根据的表达式化简（B），算出．再根据已知条件利用正弦定理算出，结合得出，由三角形内角和定理算出，得到是以为直角顶点的直角三角形，可得的面积．【详解】（1）向量，．由此可得函数，又，得．，即的取值范围是；，（B），又，，，可得．，根据正弦定理，可得，,由得，所以，因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，的面积．【点睛】方法点睛：三角恒等变换方法：三看（看角、看名、看式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如,,,等.（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.13.【山东师范大学附属中学高三上学期第二次月考】已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的值．【答案】（1）；（2）时，；时，．【分析】（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化为一个角的三角函数得最小正周期；（2）求得结合三角函数性质求解最值即可【详解】（1）解：．故函数的最小正周期．,（2）解：当时，，当，即时，函数取得最大值；当，即时，函数取得最小值．14.【福建省厦门第一中学高三（10月月考）数学第一次质量检测】已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由图象先求周期可得，再利用过可以求出，利用与轴的交点坐标可以求，从而可得函数的解析式；（2）先根据图象的平移变换求出解析式，可得解析式，利用辅助角公式化简，再利结合正弦函数图象即可求值域.【详解】由图知：，,所以，又因为，且，令，得：，由，得，所以，（2），所以，因为，所以，所以，所以，15.【重庆市第八中学高三上学期适应性月考】已知函数，将曲线向右平移个单位，得到的曲线关于原点对称.（1）求；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先化简得，由题得到，即得解；（2）根据的范围逐步求出函数在上的值域.【详解】（1）由题得，,将曲线向右平移个单位，得到.由题得，，所以，.因为，所以.（2）由（1）知：，因为，所以.从而，故在上的值域为.16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【来源】浙江省杭州市桐庐中学高三上学期暑期阶段性测试试题【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简已知等式即得解；（2）先求出，再求出，再利用三角函数的图象和性质求解.【详解】（1）因为，由正弦定理，所以，由余弦定理，因为，所以.（2）因为在锐角中，，,所以得，，因为，所以即.