高考数学方法技巧第7讲 分类讨论思想在分段函数中的应用（解析版）

第7讲分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。类型一分段函数万能模板内容使用场景分段函数解题模板第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；第三步得出结论.例1函数，若实数a满足=1，则实数a的所有取值的和为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：令和得第二步通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；若则，所以，所以；若则，所以，所以或，即或；若则，所以，所以（舍）或（舍）；若则，所以，,所以或；若则，所以，所以（舍）或；第三步得出结论.所以所有可能值为，其和为，故选C．【变式演练1】已知函数，则______．【来源】江苏省扬州中学高三3月份高考数学考前试题【答案】【分析】判断的范围，然后利用时，进行转化，将转化为，然后再利用分段函数的解析式求解即可．【详解】函数，因为，且，则．故答案为：．【变式演练2】已知函数，则不等式的解集是（）A．B．,C．D．【来源】重庆市清华中学高三上学期7月月考数学试题【答案】A【分析】，当时，，所以或；当时，，所以，所以不等式的解集是，，，故选：A．例2已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：由题意可得自变量的分界点为0；第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解：易判断在区间单调递增，因为在上是增函数，所以函数在单掉递增；第三步，得出结论：所以只需满足，解得：，所以答案为C．考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.【变式演练3】【甘肃省张掖市第二中学高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数，若，则的取值范围为（）,A．B．C．D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性以及，可得且，令，则，然后用表示，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数在上递减，在上递增，又，所以，且，令，则，所以，，所以，设函数，，∵在上单调递增，∴，即，∴，故选：B．例3若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)【答案】D【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：由题意可得自变量的分界点为0和1；,第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解：因为当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，第三步，得出结论：因此，解得，选D．考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练4】已知函数，则，的最小值是．【答案】，.【解析】，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.考点：分段函数【变式演练5】已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.【来源】新高考高三考前保温热身模拟卷数学试题（五）【答案】【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围.【详解】分别作出、的图象中下图所示，由图可以看出当时，有确定的最大值，所以这时存在，使得对于任意都有.故答案为：.,类型二含参数函数的最值问题万能模板内容使用场景含参函数在区间上的最值问题解题模板第一步通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置；第二步通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；第三步根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步得出结论.例4已知函数是二次函数，且满足，（1）求的解析式；（2）若，试将的最大值表示成关于t的函数．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由已知，因此二次函数的解析式可设为；（2）由于二次函数的最大值与对称轴有关，而且本题中二次项系数为负（图象是开口向下的抛物线），因此要分三类求最大值，即对称轴在区间的左边，在区间上，在区间的右边，分别求解，最后得,是一个分段函数形式．试题解析：（1）由题可设，又，得a＝－1，得（2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置：由题意可得：参量在区间的端点；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：由（1）知，的对称轴为，若，则在上是减函数，若，即，则在上是增函数，在是减函数，若，即，则在上是增函数；第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值：若，则在上是减函数，…8分若，即，则在上是增函数，若，即，则第四步，得出结论：故考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．,【变式演练6】【天津市静海区高三上学期第一次月考】已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】只需使原函数在和上都递增，且端点处的函数值符合要求即可.【详解】若函数在上递增，则只需满足，解得：.故选：B.例5.设函数．（1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当，,对称轴为．所以的最大值，即可得到的最小值．（2）显然．．然后再对，和进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．,试题解析：（1）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置：由题意可得：参量在函数的常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：当，,对称轴为．所以在上单调递减，在上单调递增，第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值：所以的最大值，第四步，得出结论：即可得到的最小值，所以的最小值为．（2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置：由题意可得：参量在函数的对称轴和常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：①当时，函数在上为增函数，②当时，函数在上为减函数，③当时，函数在上先减后增，第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值：①当时，只需满足由及，得，与矛盾．②当时，只需满足由，得，∴，与矛盾．,③当时，只需满足第四步得出结论.由①，②得．由②，③得，又，∴，即，再结合②得，④∴．当时，由④得，此时满足①，②，③及．综上所述，的最大值为，此时．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练7】已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县高三二模数学（理）试题【答案】【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意.【详解】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，，;,当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.【变式演练8】已知函数，则的值域是___________.设函数，若对于任意实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是___________【来源】陕西省宝鸡市千阳中学高三下学期第二次适应性训练理科数学试题【答案】【分析】（1）求出导数即可判断出的单调性，进而求出最值；（2）讨论的范围求出的最大值，即可求出的范围.【详解】（1），当，，单调递减；当，，单调递增；，又，，故的值域是；（2），,当，即时，恒成立，则，当，即时，恒成立，则，综上，实数的取值范围是.故答案为：；【点睛】关键点睛：本题考查函数值域的求解，解题的关键是利用导数求出单调性，考查了不等式的能成立问题，解题的关键是讨论的范围得出最大值.【反馈练习】1．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】山东省（新高考）高三数学学科仿真模拟标准卷试题（二）【答案】C【分析】将条件等价于函数函数为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于的不等式组，求解即得.【详解】由题意，函数对任意的都有成立，即函数为上的减函数，可得解得，故选:C.2．函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】四川省资阳中学高三上学期第一次质量检测数学试题,【答案】A【分析】恒成立求参数取值范围问题，在定义域满足的情况下，可以进行参变分离，构造新函数，通过求新函数的最值，进而得到参数取值范围.【详解】对任意，恒成立，即恒成立，即知．设，，则，．∵，∴，∴，∴，故的取值范围是．故选：A.3．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A．B．C．0D．【来源】河南省“顶尖计划”高三第三次考试理科数学试题【答案】B【分析】根据时，为单调递减函数，且为偶函数，得到时，为单调递增函数，将转化为恒成立求解.【详解】因为时，为单调递减函数，又因为函数为偶函数，所以当时，为单调递增函数，所以,,则，即，由区间的定义可知，即，由于最大值为，故显然不恒成立；若，所以，即，所以，解得，故b的最大值为.故选：B4．若存在正数使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次模拟考试数学（文）试题【答案】B【分析】令，，将问题转化为使，结合函数图象，即可确定的取值范围.【详解】由题设，知：使成立，令，，∴时有，而，∴仅需时，在，使得成立.故选：B.【点睛】,关键点点睛：令，，将问题转化为两个函数在第一象限内存在，应用数形结合的思想求参数范围.5．（多选）函数，则下列说法正确的有（）A．函数是上的单调递增函数B．对于任意实数，不等式恒成立C．若，且，则D．方程有3个不相等实数解【来源】重庆市清华中学高三上学期7月月考数学试题【答案】BD【分析】对于A，通过比较零左右两边的函数值来判断；对于B，分和两种情况分析判断；对于C，举反例判断；对于D，由零点存在性定理判断即可【详解】解：函数是和上的单调递增函数，但是，在上不单调，A错误；当时，，，；当时，，由函数在上单调递增知；B正确；令，，，且，C错误；当时，；当时，在上单调递增，，，故存在1个解；同理知时也存在1个解；是函数的一个零点，故方程共有3个解，D正确，故选：BD．6．【江西省新余市第一中学高三第四次模拟考试数学（文）】已知函数，则,（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】根据分段函数分别求出和的值，即可求解.【详解】因为所以，，所以，故选：B7．【广西北海市高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数，则（）A．-7B．2C．7D．-4【答案】A【分析】根据解析式，分别求出和，即可得出结果.【详解】因为，所以，，因此.故选：A.8.已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）,A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意可得分段函数在每一段都是单调递增且，即可得解.【详解】因为函数，，且是递增数列，则，解得.故选：C.【点睛】在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点.9.【云南省红河州高中毕业生第一次复习统一检测数学（文）】已知函数若函数的所有零点从小到大依次成等差数列，则的零点一定不包含（）A．B．2019C．2020D．【答案】D【分析】根据题意，得出当时，的零点为，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当时，的零点为0，2，4，…，都是偶数，进而讨论即可求解【详解】,解析由条件知是周期为2的周期函数，函数的零点即曲线与直线的交点的横坐标作图如下，由图可知，当时，的零点为，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当时，的零点为0，2，4，…，都是偶数，此时包含2020，当时，的零点为，，，…，此时包含，因此的零点一定不包含.故选D10.【宁夏银川一中高三第四次月考数学（理科）】已知函数，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可.【详解】由，，可知在时恒成立，故即或，根据分段函数的性质可知，，解可得，.故选：C.11.【河南省高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数f(x)=ex−e−x,x>0,−x2,x⩽0,若，则有（）A．B．C．D．,【答案】D【分析】先得到函数在R上单调递增，然后比较的大小，从而得到结果【详解】因为f(x)=ex−e−x,x>0,−x2,x⩽0,，当时，单调递增，且，当时，，在上单调递增，且，所以函数在R上单调递增，又由，所以，所以.故选：D12.【河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数（）的最小值为0，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，计算可得，再结合图像即可求出答案.【详解】设，则，则，由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，,结合图像，，得，所以.故选：C13．【贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据已知条件，求事件“，且”发生时的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【详解】事件“y=2x(x⩽0)x+1(x>0)，且”由题可知，该分段函数是一个增函数，，此时，，所以该事件发生的概率．故选：D．,14.【安徽省宿州市泗县第一中学高三下学期最后一卷数学（文）】已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，所以，令则，在上递增，所以.故选：D.,15．【上海市闵行区高三上学期一模】已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据函数的解析式，分别求得，得出，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以，当时，，此时函数的最大值为，所以，当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：.16．若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为___________.【来源】广东高三5月卫冕联考数学试题,【答案】4【分析】分段研究函数的单调性及最值得解【详解】在上单调递增，∴；当时，，此时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，函数有最有最小值，则，即，故的一个正整数取值可以为4.故答案为：417．已知函数，.（1）若当时，不等式恒成立，求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值.【来源】四川省资阳市乐至中学高三第一次质量检测数学（理科）试题【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【分析】（1）由题知恒成立,进而由得.（2）由题知，进而先对自变量分和讨论求得函数最值，再根据讨论结果对分类讨论求函数最值得答案.【详解】解：（1）恒成立，恒成立，，.,（2）当时，①当时，.当时，；当时，.②当时，.当时，；当时，；当时，.所以当时，；当时，，故，当时，，故，当时，，故综上，当时，；当时，.18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.【来源】普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学试题（黑卷）【分析】（1）首先可根据得出，然后将转化为，最后分为、两种情况进行求解，即可得出结果；,（2）本题首先可将转化为，然后令，求出，再然后根据恒成立得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】（1）当时，函数，则不等式即，当时，，即，，解得；当时，，即，，解得，（2），即，，令，则恒成立即，当时，；当时，，故，，则，即，解得或，故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法，可通过去绝对值的方式解含绝对值不等式，考查通过最值求解不等式恒成立问题，考查计算能力，体现了分类讨论思想，是中档题.