2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的奇偶性与周期性课件

第三讲　函数的奇偶性与周期性 课标要求考情分析1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义1.本讲以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识.2.题型以选择、填空题为主，中等难度 奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称1.函数的奇偶性 【名师点睛】(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【名师点睛】函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 题组一走出误区1.(多选题)下列结论正确的为()A.若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0B.若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称C.若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称D.2π是函数f(x)＝sinx，x∈(－∞，0)的一个周期答案：BCD 题组二走进教材2.(教材改编题)设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.答案：－13.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案：－2 题组三真题展现4.(2021年全国甲)设f(x)是定义域为R的奇函数，且答案：C 5.(2021年新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函数.答案：f(x)＝x2 考点一判断函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性： 解：(1)由于f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数. (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数. 【题后反思】(1)判断函数奇偶性的两个必备条件①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域.②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 【变式训练】1.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x))是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|＋g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，A错误、C正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B正确；由f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，D错误.故选BC.答案：BC 解：取x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).又f(0)＝0，∴f(x)为奇函数. 考点二根据函数的奇偶性求参数的值(范围)函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a·2x－2－x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a·20－20＝a－1＝0，所以a＝1.答案：1解析： 答案：C 【题后反思】(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称). 【变式训练】 解析：函数f(x)的图象关于原点对称，且当x＝0时，f(x)有意义，∴f(0)＝0，得a＝1.又g(x)为偶函数，∴g(－1)答案：D 2.设函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为______.解析：由已知可得g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(2)＝0，又g(x)为偶函数，∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)<g(2)，∴|2－2x|<2，∴－2<2x－2<2，解得0<x<2.答案：(0,2) 考点三函数性质的综合应用考向1单调性与奇偶性的综合问题通性通法：1.利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.2.注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用. [例3](2020年全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)() 答案：D 考向2周期性与奇偶性的综合问题通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 解析：∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x). 当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2，答案：D 考向3单调性、奇偶性与周期性的综合问题通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. [例5]已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________. 解析：据已知抽象函数关系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数为偶函数，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)⇒f(2)＝0，即①正确；因此f(x)＝f(x＋4)，即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于y轴即直线x＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图象的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8,10]上也单调递减， 故③错误；如图2-3-1所示，若方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述，命题①②④正确.图2-3-1答案：①②④ 【考法全练】1.(考向1)(2020年新高考Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足x·f(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1,1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞)D.[－1,0]∪[1,3] 解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图D3(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图D3(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].故选D. (1)(2)图D3答案：D 2.(考向2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝)－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(A.f(－25)＜f(11)＜f(80)B.f(－25)＜f(80)＜f(11)C.f(80)＜f(11)＜f(－25)D.f(11)＜f(80)＜f(－25) 解析：根据题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝－f(x)，则有f(x＋8)＝f(x)，故函数的周期为8.f(－25)＝f[(－1)＋(－3)×8]＝f(－1)，f(80)＝f(0＋8×10)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝f[(－1)＋4]＝－f(－1)＝f(1)，根据奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，可得f(x)在[－2,0]上也单调递增，则函数f(x)在区间[－2,2]上单调递增，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11).故选B.答案：B 3.(考向3)(多选题)(2021年日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则()A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称C.函数f(x)为R上的偶函数D.函数f(x)为R上的单调函数 解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D错误.答案：ABC ⊙函数奇偶性、周期性的应用结论一：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.结论二：若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称.结论三：若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). A.(－4,6)C.(－4,3)B.(－2,3)D.(－2,6) 答案：B 【反思感悟】求解函数对称中心问题的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解. 【高分训练】 ④f(x)的图象的对称轴中，有x＝±1.)其中正确的命题是(A.①②③C.①③④B.②④D.①②③④解析：∵f(x－2)＝－f(x)对一切x∈R恒成立，∴f(x－4)＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；当1≤x≤3时，－1≤2－x≤1.∵当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，∴f(2－x)＝(2－x)3＝－f(x－2)＝f(x)，∴f(x) 答案：D 2.(多选题)(2021年福建毕业班质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于f(x)的结论正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)满足f(x)＝f(4－x)C.f(x)在(0,2)上单调递减 答案：ABD