2023高考数学基础知识综合复习第16讲正弦余弦定理 课件（共19张PPT）

第16讲　正弦、余弦定理 教材核心知识课标要求学业水平评价要求正弦定理、余弦定理探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理掌握正弦定理、余弦定理的简单应用能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题理解 1.正弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 2.余弦定理 3.三角形面积公式 4.解三角形(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C.(5)判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化,根据边的关系或角的关系确定三角形的形状.(6)在△ABC中,a>b>c⇔A>B>C⇔sinA>sinB>sinC. 考点一考点二考点三考点四正、余弦定理的应用例1(2018年6月浙江学考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=45°,C=30°,c=1,则b等于()答案C 考点一考点二考点三考点四答案C解析由b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,因为b<c=2,所以b=2. 考点一考点二考点三考点四例3(2018年4月浙江学考)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,则cosC的取值范围是. 考点一考点二考点三考点四(1)一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,就要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,就考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. 考点一考点二考点三考点四判断三角形的形状例4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b=2a·cosC,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案A解析由题设,结合正弦定理有sinB=2sinAcosC,而B=π-(A+C),∴sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,即sin(A-C)=0,又0<A<π,0<C<π,∴A=C.∴△ABC为等腰三角形. 考点一考点二考点三考点四例5在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c依次成等差数列,且B=,则该三角形的形状是()A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案A 考点一考点二考点三考点四判断三角形形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,避免漏掉一些可能情况.解题时注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 考点一考点二考点三考点四与三角形面积有关的问题答案D解析利用余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴5=2+c2-2c,∴c=3或c=-1(舍去), 考点一考点二考点三考点四例7(2021年1月浙江模拟)已知△ABC的三边分别是a,b,c,且面积S=,则角C=. 考点一考点二考点三考点四例8(2021年7月浙江模拟)在△ABC中,b=4,a=4cosC+csinB,则△ABC面积的最大值为.解析在△ABC中,b=4,a=4cosC+csinB,整理,得a=bcosC+csinB,利用正弦定理:sinA=sinBcosC+sinCsinB,故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB,可得cosBsinC=sinCsinB,且由sinC≠0,所以sinB=cosB,故tanB=1, 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四解三角形应用举例例9我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,……欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为平方里. 考点一考点二考点三考点四答案84解析设△ABC为沙田,AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,