第28讲 等差数列（原卷版）

第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）5、等差数列前项和公式：；6、等差数列的前n项和Sn的性质（1）等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则7、等差数列前项和的最值在等差数列中，（1）若有最大值,可由不等式组来确定；（2）若有最小值,可由不等式组来确定（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值【题型一：等差数列通项公式】1．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（）A．4B．3C．2D．12．（全国高二单元测试）在数列中，，，若，则（） A．671B．672C．673D．6743．（江西南昌·高三开学考试（理））设为数列的前n项和，若，，则（）A．B．C．10D．4．（北京牛栏山一中）已知数列中，，，则等于（）A．-12B．12C．-16D．165．（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4B．3C．2D．1【题型二：等差中项】1．（全国高二单元测试）在等差数列中，，则（）A．8B．12C．16D．202．（北京房山·）8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．43．（全国）等差数列，，，…的第四项等于(　　)A．10B．6C．8D．124．（江西省铜鼓中学（文））已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A．1B．2C．-2D．-1【题型三：等差数列性质】1．（四川省资中县第二中学（理））在等差数列中，则=（）A．B．C．D．2．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（）A．20B．24C．27D．293．（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（）A．5B．6C．16D．324．（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（）A．130B．170C．210D．2605．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（）A．4B．5C．6D．7 6．（新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列，的前项和分别为，若，则（）A．B．C．D．7．（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（）A．3B．4C．5D．68．（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（）A．197B．198C．199D．2009．（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（）A．5B．6C．7D．810．（安徽（文））在等差数列中，已知，，则使数列的前项和成立时n的最小值为（）A．6B．7C．9D．1011．（赛罕·内蒙古师大附中）等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（）A．8项或9项B．7项或8项C．17项或18项D．16项或17项【题型四：等差数列前项和】1．（全国高二课时练习）在等差数列中，若，则的值是（）A．12B．24C．36D．482．（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A．B．C．2D．33．（全国高二专题练习）已知为等差数列且，，为其前项的和，则（）A．176B．182C．188D．1924．（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，，的前项和为．求及； 5．（广西南宁·高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.求公差及的通项公式；6．（全国高二课时练习）已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.7．（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前项和.【题型五：等差数列前项和最大（小）问题】1．（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则使的最小正整数的值是（）A．8B．9C．10D．112．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（）A．-40B．-39C．-38D．-143．（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和 的最大值为（）A．15B．16C．17D．184．（河南高二月考（文））在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.5．（全国）设等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.6．（皮山县高级中学高一期中）已知等差数列中，，，求（1）求的通项公式；（2）的前项和.【题型六：已知和关系】1．（广西平果二中高一期中）已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．2．（全国高二专题练习）设数列的前项和为，已知，，.求数列 的通项公式；3．（南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列的前项和为.求数列的通项公式；4．（浑源县第七中学校高三模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足.求数列的通项公式；5．（山东高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；