第28讲 等差数列（解析版）

第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）5、等差数列前项和公式：；6、等差数列的前n项和Sn的性质（1）等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则7、等差数列前项和的最值在等差数列中，（1）若有最大值,可由不等式组来确定；（2）若有最小值,可由不等式组来确定（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值题型一：等差数列通项公式1．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （）A．4B．3C．2D．1【答案】A【详解】由题设，，解得.故选：A2．（全国高二单元测试）在数列中，，，若，则（）A．671B．672C．673D．674【答案】D【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.3．（江西南昌·高三开学考试（理））设为数列的前n项和，若，，则（）A．B．C．10D．【答案】C【详解】解：因为，所以有，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.故选：C.4．（北京牛栏山一中）已知数列中，，，则等于（）A．-12B．12C．-16D．16【答案】A【详解】解：数列中，，，即，所以数列为等差数列，公差为，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以，所以．故选：A．5．（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【详解】由，得.又，所以.故选：B题型二：等差中项1．（全国高二单元测试）在等差数列中，，则（）A．8B．12C．16D．20【答案】B【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，则，所以.故选：B.2．（北京房山·）8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．4【答案】C【详解】8，2的等差中项为.故选：C3．（全国）等差数列，，，…的第四项等于(　　)A．10B．6C．8D．12【答案】C【详解】解：由题意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)解得x＝1微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ∴这个数列为2，4，6，8，…故选C.4．（江西省铜鼓中学（文））已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A．1B．2C．-2D．-1【答案】B【详解】设等差数列的公差为d.由已知条件，得，即，解得.故选B.题型三：等差数列性质1．（四川省资中县第二中学（理））在等差数列中，则=（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由等差数列的性质有，则.故选：D2．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（）A．20B．24C．27D．29【答案】D【详解】解：，所以，又，所以，所以，故选：D3．（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（）A．5B．6C．16D．32【答案】B【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 又由.故选：B.4．（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（）A．130B．170C．210D．260【答案】C【详解】∵为等差数列，∴成等差数列，即成等差数列，，解得.故选：C.5．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【详解】设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，于是得，由得，，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B6．（新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列，的前项和分别为，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ，故选：A.7．（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【详解】依题意.故选：D8．（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（）A．197B．198C．199D．200【答案】B【详解】解：因为，即，，所以，所以数列的公差，所以，，故时，的最大值为198；故选：B9．（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【详解】由题意，等差数列满足，，根据等差数列的性质，可得，即，又由，可得，所以当前项和取得最大值时的值是.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 故选：B.10．（安徽（文））在等差数列中，已知，，则使数列的前项和成立时n的最小值为（）A．6B．7C．9D．10【答案】D【详解】，，，，，，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，故选：D.11．（赛罕·内蒙古师大附中）等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（）A．8项或9项B．7项或8项C．17项或18项D．16项或17项【答案】A【详解】若，则，得，而，所以，即，所以；若，得，而，所以，即，所以；若，则，得.所以数列各项中取值为正数的有8项或9项，故选：A.题型四：等差数列前项和1．（全国高二课时练习）在等差数列中，若，则的值是（）A．12B．24C．36D．48【答案】B【详解】由S10=，得a1+a10=，故选：B2．（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A．B．C．2D．3微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】B【详解】设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得．则．故选：B．3．（全国高二专题练习）已知为等差数列且，，为其前项的和，则（）A．176B．182C．188D．192【答案】D【详解】，，，，故选：D.4．（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，，的前项和为．求及；【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．5．（广西南宁·高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.求公差及的通项公式；【答案】（1），；【详解】（1）设的公差为，由题意得.由得.所以的通项公式为.6．（全国高二课时练习）已知等差数列中，，.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，所以其通项公式为；（2）由（1）可得，数列的前项和.7．（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）是等差数列，且，，；（2）.题型五：等差数列前项和最大（小）问题1．（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则使的最小正整数的值是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【详解】设等差数列{an}的公差为d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，则有a1=-8，从而得等差数列{an}的通项公式为：an=-9+n，由-9+n>0得n>9，而n是正整数，则，所以使an>0的最小正整数n的值是10.故选：C2．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．-40B．-39C．-38D．-14【答案】A【详解】因为，，所以，，所以，由得，所以前项和最小，.故选：A3．（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【详解】当时，，可得最大，.故选：B4．（河南高二月考（文））在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.【答案】（1）；（2），-36.【详解】（1）设的公差为，根据题意得解得，所以.（2）根据等差数列的前项和公式得则当时，取得最小值.5．（全国）设等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】（1）an=11-2n，n∈N*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.【详解】解（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，得解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n，n∈N*.（2）由（1）知，Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-（n-5）2+25，所以当n=5时，Sn取得最大值.6．（皮山县高级中学高一期中）已知等差数列中，，，求（1）求的通项公式；（2）的前项和.【答案】（1）或；（2）或．【详解】解：（1）设的公差为，因为，，解得，或，．所以，或，解得或．所以，或．（2）由（1）可得：或，所以，或．题型六：已知和关系1．（广西平果二中高一期中）已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.【详解】（1）由题意可知：，当时，，当时，，当时，显然成立，∴数列的通项公式；（2），由，则时，取得最大值28，∴当为4时，取得最大值，最大值28．2．（全国高二专题练习）设数列的前项和为，已知，，.求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）当时，，当时，也成立，综上所述，.3．（南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列的前项和为.求数列的通项公式；【答案】（1）【详解】(1)解：由可得，,当时，,式子对也成立.故数列的通项公式为，4．（浑源县第七中学校高三模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足.求数列的通项公式；【答案】（1）；【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （1）∵数列满足，，∴令n=1，则，解得.当n≥2时，，则，，.∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，则其通项公式为.5．（山东高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；【答案】（1）；【详解】（1）当时，，解得：，当且时，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，∴.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538