等差数列的概念（九个重难点突破）（原卷版）

专题4.2等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）（2）.（3）,且.9学科网（北京）股份有限公司 2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列中，，，则.2．已知数列的通项公式为，其中p，q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.5．已知在数列中，，，则等于．9学科网（北京）股份有限公司 6．（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）A．B．C．(为常数)D．重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ）A．B．C．D．8．已知数列满足，（，），则．9．在数列中，，则数列的通项公式为.10．已知数列中，，且是等差数列，则（    ）A．36B．37C．38D．3911．在数列中，，，则（    ）A．B．C．D．12．已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列是等差数列，若，，则（    ）A．2024B．2023C．4048D．40469学科网（北京）股份有限公司 14．已知等差数列中，，，则首项与公差分别为（    ）A．B．C．D．15．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是．16．已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则的取值范围是.17．已知在等差数列中，，，则．18．已知等差数列满足，则的值为.重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是.20．已知等差数列满足，则.21．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（    ）A．0B．C．1D．222．有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是.23．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为24．已知数列满足：，，则．9学科网（北京）股份有限公司 重难点5等差数列的性质25．已知数列为等差数列，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件26．已知正项等差数列，若，，则(    )A．B．C．D．27．若是公差不为的等差数列，满足，则该数列的前项和（    ）A．B．C．D．28．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ）A．3B．6C．8D．929．已知等差数列满足，则．30．在等差数列中，若为方程的两根，则．重难点6等差数列的证明31．已知数列{an}满足，，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．9学科网（北京）股份有限公司 32．已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.33．已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.34．数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.35．已知数列满足，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.36．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．求证：为等差数列；37．已知数列的前项和为．证明：数列是等差数列；重难点7构造等差数列38．在数列中，，若，则（    ）9学科网（北京）股份有限公司 A．18B．24C．30D．3639．已知数列满足，则（    ）A．2023B．2024C．2027D．404640．已知各项均不为0的数列满足，且，则．41．已知数列满足，，则.42．设数列的前n项和为，且，，则．43．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ）A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：9学科网（北京）股份有限公司 名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式……由此推断并十苯的分子式为.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.47．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（    ）A．尺B．13尺C．尺D．尺499学科网（北京）股份有限公司 ．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（    ）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ）A．升B．升C．升D．升51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ）A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文52．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为．9学科网（北京）股份有限公司