空间向量及其运算（七个重难点突破）（原卷版）

专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或2.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为单位向量1或相反向量相反相等记为共线向量相同或相反或相等向量相同相等或知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义与向量的方向相同的长度是的长度的倍与向量的方向相反，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律结合律，分配律知识点3　共线向量与共面向量1.直线的方向向量定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使对空间任一点O，空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：(1)；(2)；(3)．2．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：. 3．在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．  4．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）A．B．C．D．5．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.   6．如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证：.7．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ）A．B．C．D．重难点2共线问题8．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数_____；9．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则_____．10．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ）A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面D．P，A，B三点共线 11．已知，.（1）若与的方向相同，且，则λ的值为_____；（2）若与的方向相反，且，则λ的值为_____.12．已知是空间的一个基底，下列不能与，构成空间的另一个基底的是（    ）A．B．C．D．13．已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为_____.14．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.（1）用表示.（2）求证：E，F，B三点共线.15．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.求证：（1）；（2）.重难点3向量的共面问题 16．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ）A．2B．C．1D．17．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则_____．18．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．(1)；(2)．19．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．20．，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为_____.21．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ）A．B．C．D．22．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A．，，B．，，C．，，D．，，知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）.A．B．C．D．24．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则_____. 25．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_____.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量满足，则；③在向量的数量积运算中；④对于非零向量，由，则，其中假命题的个数是_____．27．已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于（    ）A．B．C．D．28．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（    ）A．B．C．D．29．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)； (2)．30．在三棱锥中，已知，，，则_____重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.32．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ）A．B．C．直线与直线是相交直线D．与所成角的余弦值为33．已知向量都是空间向量，且，则_____.34．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A．B．C．D．35．如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点．(1)求；(2)求直线与所成角的余弦值．36．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为_____．重难点6投影向量37．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为_____，在上的投影之积为_____．38．已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为_____．39．如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 40．如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于_____.41．在棱长为的正方体中，向量在向量方向上的投影向量的模是_____．42．如图，在三棱锥中，平面，，，．(1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，. (1)用向量，，表示向量；(2)若，求.44．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（    ）A．5B．3C．D．45．如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）  A．，B．，C．，D．， 46．如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.47．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（    ）A．B．1C．或2D．1或48．平行六面体中，，则的长为（    ）A．10B．C．D．49．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．(1)求．(2)求FH的长．