空间向量及其运算（七个重难点突破）（解析版）

专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示定义在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量长度或模空间向量的大小叫做空间向量的长度或模表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模符号表示法若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或2.几类特殊的空间向量名称方向模表示法零向量任意0记为单位向量1或相反向量相反相等记为共线向量相同或相反或相等向量相同相等或知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义与向量的方向相同的长度是的长度的倍与向量的方向相反，其方向是任意的3.空间向量的运算律交换律结合律，分配律知识点3　共线向量与共面向量1.直线的方向向量定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使对空间任一点O，空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1) (2)(3)【分析】（1）由于是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；(1)解：因为是的中点，所以，所以，；(2)解：因为是的中点,所以，所以，；(3)解：因为，分别，的中点，所以，又是的中点，，所以，.2．如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：.【答案】详见解析.【分析】取的中点，连接，，由，，即可求证. 【详解】取的中点，连接，，在中，，在中，，所以.3．在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．  【答案】，作图见解析【分析】先利用正六棱柱的性质证得，从而利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为六边形是正六边形，所以，，又在正六棱柱中，，所以，故是平行四边形，则，所以，向量在图中标记如下，   4．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】.故选：D.5．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.  【答案】证明见解析.【分析】先利用基底表示出，进而证得成立. 【详解】，则，则.6．如图，设A是所在平面外的一点，G是的重心.求证：.【答案】证明见解析.【分析】连接，延长后交于点E，利用G是的重心即可得到与之间的关系.【详解】连接，延长后交于点E，连接，由G为的重心，可得，，则，则，又，则.7．如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（    ） A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，所以为的中点，则，所以，故选：.重难点2共线问题8．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数；【答案】；【分析】A，B，D三点共线，故存在实数，使得，再由已知条件表示出与,建立方程组可求出和值．【详解】因为，，所以，因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，即，所以，解得．【点睛】本题考查了空间向量中三点共线问题，共线向量定理常常用来解决此问题．9．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则．【答案】/－0.5【分析】作图，连接连接，，构造三角形中位线解题﹒ 【详解】如图，连接，，则点E在上，点F在上，易知，且，∴，即，∴．故答案为：10．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ）A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面D．P，A，B三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为，所以，所以=，即=n()，即=n，所以共线.又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为=m+n，故O，A，B，P四点共面.故答案为：ACD【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．11．已知，.（1）若与的方向相同，且，则λ的值为；（2）若与的方向相反，且，则λ的值为. 【答案】【分析】根据向量共线可得答案.【详解】由于，所以当，同向时，；当，反向时，.故答案为：①；②.12．已知是空间的一个基底，下列不能与，构成空间的另一个基底的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据基底向量任意两向量不共线，三个向量不共面可判断求解.【详解】由，，两式相加可得，即与共面故不能与，构成空间的另一个基底．故选：A13．已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为.【答案】/【分析】由向量的模的计算公式得，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.【详解】解：，，，则，所以，所以，故.由于使成立的正数有且只有一个，故关于以为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故，解得，当时，故舍去，则.故的范围是唯一一个实数， 故答案为：.14．如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.（1）用表示.（2）求证：E，F，B三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得，由此可得答案；（2）由已知得，由此可得证.【详解】解：（1）因为，，所以，所以；（2），又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 15．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，，又，运算即得证【详解】证明：（1）∴.（2）.重难点3向量的共面问题16．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2B．C．1D．【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得故选：B17．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则．【答案】【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得.【详解】由于平面，所以，解得.故答案为：18．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．(1)；(2)．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【详解】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面，对于平面外的任意一点，若，即，又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面.（2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时，根据空间向量的共面定理，可得点与不共面．19．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面向量定理证明共面，即可得四点共面．【详解】设，则，，又为两个不共线的非零向量，，，，四点共面，故原命题得证．20．，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为.【答案】-3【分析】由题知存在实数，，使得，代入条件，比较系数列方程求解.【详解】若，，，四点共面，则存在实数，，使得，即，所以，解得，，.故答案为：-3.21．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.22．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，，，，三个向量共面；对于C选项，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即．零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律3．投影向量在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．4．数量积的性质若，为非零向量，则（1）；（2）；（3），；（4）；（5）重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）.A．B．C．D．【答案】D【分析】在正四面体中，由中点性质可得，则可代换为，由向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，因为D为棱的中点，所以，，由正四面体得性质，与的夹角为60°，同理与的夹角为60°，，，故，故选：D.24．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则.【答案】【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为平面，平面，则，同理可知，所以，.故答案为：.25．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=. 【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，.故答案为：1.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量满足，则；③在向量的数量积运算中；④对于非零向量，由，则，其中假命题的个数是．【答案】4【分析】根据空间向量的性质，结合数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误；对于②：空间向量满足，但方向可能不同，故不能得到，故②错误；对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误；对于④：由，可得，所以，无法得到，故④错误.所以错误的命题个数为4.故答案为：427．已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意可得，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.【详解】因为点分别是的中点，所以，，所以，则，又因为空间四面体DABC的每条棱长都等于1，所以是等边三角形，则，所以.故选：B．.28．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误； 对于③，设、的夹角为，则，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.29．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【分析】（1）计算，展开计算得到答案.（2），代入计算得到答案.【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且，，；（2）30．在三棱锥中，已知，，，则【答案】【分析】用表示，根据条件列出方程建立的关系，利用等量代换计算即得.【详解】设，显然，则，即，而，即，于是得，， ，则有，所以.故答案为：重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD1的长；（2）分别求出的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD1与AC所成角的余弦值．【详解】（1）∵，＝24， ∴的长为，（2）∵，∴，∴，∵，，∴＝，所以直线BD1与AC所成角的余弦值为．32．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ）A．B．C．直线与直线是相交直线D．与所成角的余弦值为【答案】ABD【分析】对选项A，根据，再平方即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B正确，对选项C，根据图形即可判断C错误，对选项D，根据空间向量夹角公式即可判断D正确. 【详解】对选项A，，则，所以，故A正确；对选项B，，所以，故B正确；对C，直线与直线是异面直线，C错误；对D，，，，，，，所以，，于是与所成角的余弦值为.故选：ABD33．已知向量都是空间向量，且，则.【答案】【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求的大小.【详解】由题设，而，， 所以.故答案为：34．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意计算得，，进而计算夹角即可得答案.【详解】解：由题意，得，所以，设向量和的夹角为，则，又，所以.故选：C.35．如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点．(1)求；(2)求直线与所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先设，，，得到，再平方即可得到答案； (2)由，得，代入计算即可.【详解】（1）因为在平行六面体中，点在线段上，且满足．设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底．所以．，，．（2）由（1）知，，，，，直线与所成角的余弦值为．36．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为．【答案】【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到．【详解】解：设平面与平面的夹角的度数为，由题意得，且，即， ，解得，平面与平面的夹角的余弦值为．故答案为：．重难点6投影向量37．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为，在上的投影之积为．【答案】-1256【分析】根据向量的加法求得，即可得在，，上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.【详解】解：易得，所以在，，上的投影分别为-12，8，7，其在，上的投影之积为．故答案为：-12；56.38．已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为．【答案】【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可.【详解】因为，向量为单位向量，，所以向量在向量方向上投影为．故答案为：39．如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、.【分析】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量.【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为，由空间向量的平行六面体法则可得，在长方体中，，因此，向量在方向上的投影数量为，向量在方向上的投影数量为，向量在方向上的投影数量为.40．如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于.【答案】【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】平面， 则，向量在上的投影向量为故答案为：.41．在棱长为的正方体中，向量在向量方向上的投影向量的模是．【答案】【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案.【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是，故答案为：42．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求；(2)确定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，.【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，因为平面，面，可得，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）知：，，所以在上的投影向量为：，由数量积的几何意义可得：.重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，. (1)用向量，，表示向量；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解即可；（2）根据空间向量数量积的运算性质和定义、结合空间向量基本定理进行求解即可.【详解】（1）因为是的中点，在上且，所以；（2）由（1）可知：，因为，所以，而，因为正四面体的棱长为1，所以.44．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（    ） A．5B．3C．D．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中，，，，，，∵，∴，∴.故选：C.45．如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）  A．，B．， C．，D．，【答案】C【分析】用向量的线性运算可直接求得；求整体的模长可平方再开根.【详解】在平行六面体中，，，，，，∵，∴,∴．故选:C．46．如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.【答案】(1)；.(2).【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可； （2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得.【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，，则..（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，所以，，.，所以.47．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，则间的距离等于（    ）A．B．1C．或2D．1或【答案】C【分析】先利用向量的加法可得，等式两边进行平方，可求出或，从而可得结果.【详解】,同理，， 又因为与成角，或，，，或，或，故选：C.48．平行六面体中，，则的长为（    ）A．10B．C．D．【答案】B【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．【详解】如图，，，，，，．，， ，即的长为.故选：B．49．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．(1)求．(2)求FH的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律分别求出，再根据即可得解；（2）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】（1）由题意，，，则， ，，所以；（2），所以，所以FH的长为.