2023届人教A版新高考数学新教材一轮复习第八章立体几何与空间向量课时规范练37空间向量及其运算（Word版带解析）

课时规范练37　空间向量及其运算基础巩固组1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),则a·b=(　　)A.-8B.-7C.-6D.-52.已知a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为(　　)A.-5B.-6C.-4D.-33.(2020辽宁大连模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为(　　)A.a-b+cB.a-b+cC.a-b-cD.a-b+c4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　)A.B.C.=0D.=05.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=(　　)A.7B.5C.3D.66.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是(　　)A.若|a|=2,则m=±B.若a⊥b,则m=-1C.不存在实数λ,使得a=λbD.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)7.若向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量a,b的夹角为　　　　　. 8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,1,1)在平面ABC内,则x=　　　　　. \n综合提升组9.(多选)(2021湖北武汉模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　　)A.是共线向量B.与同向的单位向量是,0C.夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)10.(多选)(2021江苏板浦高级中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列正确的是(　　)A.a-b+cB.=a+b+cC.AC1的长为D.cos<>=11.(2021山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为　　　　　. 12.已知空间向量的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,则x+y+z=　　　　　;||=　　　　　. 13.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=m,其中0≤m≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)求证:A1F⊥C1E;\n(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.创新应用组14.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(　　)A.B.C.D.15.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则的最小值为　　　　　. \n课时规范练37　空间向量及其运算1.A　解析由已知可得a·b=1×2-2×(-1)+3×(-4)=-8.故选A.2.B　解析因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),且a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb,即(t,12,-3)=λ(2,t+2,1),所以解得故选B.3.B　解析连接BD,如图,因为E是PD的中点,所以)=(-b+)=-b+)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选B.4.C　解析M与A,B,C一定共面的充要条件是=x+y+z,x+y+z=1,对于A选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于C选项,由于=-,则为共面向量,所以M,A,B,C共面;对于D选项,由=0,得=-,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.5.C　解析∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),\n∴|a-2b|==3.故选C.6.AC　解析对于A,由|a|=2,可得=2,解得m=±,故A正确;对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,若存在实数λ,使得a=λb,则显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb,故C正确;对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.7.　解析根据题意,设向量a,b的夹角为θ,向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量|a|=,|b|=,a·b=-1.则cosθ==-.又由0≤θ≤π,则θ=.8.-1　解析设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),又=(-1,1,0),=(-1,0,1),所以取x=1,得n=(1,1,1),P(x,1,1)在平面ABC上,=(x-1,1,1).则n·=x-1+1+1=0,x=-1.9.BD　解析对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),可知≠λ,则不共线,故A错误;对于B,∵=(2,1,0),∴||=,∴=,0,即与同向的单位向量是\n,0,故B正确;对于C,∵=(-3,1,1),∴cos<>==-,即夹角的余弦值为-,故C错误;对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则令x=1,则y=-2,z=5,即n=(1,-2,5),故平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),故D正确.故选BD.10.BD　解析由空间向量的加法法则得=a+b+c,故B正确;)=c+(-a+b)=-a+b+c,故A错误;由已知a·b=b·c=a·c=1×1×cos60°=,||=|a+b+c|===,故C错误;cos<>==,故D正确.故选BD.\n11.(-∞,-2)∪-2,　解析由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-4<0,解得k<.若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ<0,则所以k=-2.所以ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k<且k≠-2.综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪-2,.12.1　　解析取AC的中点D,×()=×)-=.又=x+y+z,空间向量的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,则x=,y=,z=,故x+y+z=1.||=\n====.13.证明(1)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0),所以=(-m,a,-a),=(a,m-a,-a),所以=-am+a(m-a)+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.(2)因为A1,E,F,C1四点共面,所以共面.选为平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,即(-m,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,m,-a)=(-aλ1,aλ1+mλ2,-aλ2),所以解得λ1=,λ2=1.故.14.B　解析设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,\n所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.故选B.15.-8　解析设正四面体外接球球心为O,正四面体A-BCD的外接球半径为3,设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,则VA-BCD=4×Sr=Sh,所以h=4r,显然r+3=h=4r,所以r=1,即|PO|min=1.=()·()=-9≥1-9=-8.