双曲线的简单几何性质（九个重难点突破）（原卷版）

专题3.4双曲线的简单几何性质知识点一双曲线的几何性质标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质焦点焦距范围,或或对称性关于坐标轴、原点对称顶点轴长实轴长2a,虚轴长2b,离心率渐近线知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（    ）A．1B．2C．3D．42．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（    ）A．9B．－9C．D．3．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（    ）A．2B．4C．6D．84．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）,  A．B．24C．32D．5．若实数m满足，则曲线与曲线的（    ）A．离心率相等B．焦距相等C．实轴长相等D．虚轴长相等6．等轴双曲线的焦距为.7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，的面积的最大值为，的焦距为2，则双曲线的实轴长为．重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．,10．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）A．B．C．D．11．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．12．已知双曲线的一个焦点是，点到的渐近线的距离为，则（    ）A．与有关B．与无关C．与有关D．与无关13．双曲线的渐近线方程为，则．14．已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为.重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ）A．B．C．D．16．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ）A．B．C．D．17．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ）A．B．,C．D．18．求双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是   （    ）A．B．C．D．19．已知双曲线：（，）的实轴长为4，离心率为．若点是双曲线位于第一象限内的一点，则（    ）A．2B．1C．D．20．双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，则为（    ）A．B．C．D．21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为，那么此双曲线的标准方程为．重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．23．与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是．24．若双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程为.25．双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程．,26．求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.27．已知双曲线E与双曲线共渐近线，且过点，若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.28．已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点.(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.重难点5根据齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．30．双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ）A．B．或C．D．或31．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（    ）A．B．C．D．32．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足,，且，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．B．C．D．33．已知F为双曲线C：（，）的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B．若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．34．如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为.  35．过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若为等边三角形，则W的渐近线方程为，W的离心率为．重难点6求双曲线的离心率36．设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．37．已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（    ）,A．B．C．D．38．设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ）A．B．C．D．39．已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ）A．B．C．2D．340．若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，，则（    ）A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为41．已知双曲线，过其上焦点的直线与圆相切于点A，并与双曲线的一条渐近线交于点不重合）．若，则双曲线的离心率为．42．已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为43．已知双曲线的右顶点为A，左、右焦点分别为，，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且，直线的斜率为，则该双曲线的离心率为．重难点7求双曲线离心率的取值范围,44．过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．45．已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（    ）A．B．C．2D．46．已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是.47．已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A．B．C．D．48．双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为（    ）A．B．C．D．49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为．,50．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ）A．B．C．D．52．设双曲线的上、下焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（    ）A．8B．4C．2D．153．设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为54．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为．55．已知双曲线的左､右焦点分别是，，P是双曲线右支上一点，，O为坐标原点，过点O作的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则.,56．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．57．点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（    ）A．B．C．1D．重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离340mB．东偏南45°方向，距离340mC．西偏北45°方向，距离170mD．东偏南45°方向，距离170m59．如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（    ）A．万元B．万元C．万元D．万元60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降,，则水面宽是．（结果精确到）61．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则.62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为．  63．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为,，则下列结论正确的是（    ）            A．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则64．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则双曲线E的离心率为．