用空间向量研究距离、夹角问题（七个重难点突破）（原卷版）

专题1.4用空间向量研究距离、夹角问题知识点1空间距离及向量求法1.点到直线的距离设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则2.点到平面的距离设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则重难点1点到直线的距离1．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ）A．B．C．D． 2．空间中有三点，则点到直线的距离为（    ）A．B．C．D．3．生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥，其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且，则的重心G到直线的距离为（    ）A．B．C．D．4．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）A．1B．C．D．5．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为_____.6．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：_____.7．已知长方体中，，圆内切上底面正方形，为圆上的动点． (1)求点到直线的距离；(2)求的取值范围．重难点2点到平面的距离8．在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）A．B．C．D．9．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_____.10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：  (1)直线的一个方向向量；(2)点到平面的距离．11．在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为 _____．12．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离．13．如图，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．(1)证明：平面．(2)求点到平面的距离．14．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.重难点3直线（或平面）到平面的距离 15．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是A．B．C．D．16．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A．B．C．D．17．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_____．18．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.19．已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．知识点2空间角及向量求法1.用向量运算求两条直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．2.用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．3.用向量运算求平面与平面所成的角平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．重难点4异面直线所成的角20．直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）  A．B．C．D．21．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为（    ）   A．B．C．D．22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ）A．B．C．D．23．已知，是异面直线，，，，，且，，则与所成的角是（    ）A．B．C．D．24．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为_____．25．已知长方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，记直线的夹角为，直线的夹角为，直线的夹角为，则之间的大小关系为_____．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）26．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，．  (1)求的长；(2)证明：；(3)求直线与AC所成角的余弦值．重难点5直线与平面所成的角 27．在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）A．B．C．D．28．在正方体中，如图、分别是，的中点．  (1)求证：平面平面；(2)求直线与所成角的正弦值．29．正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的余弦值为（    ）A．B．C．D．30．如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．    (1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．31．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，．  (1)证明：；(2)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 32．如图1，在梯形ABCD中，，O是边AB的中点．将绕边OD所在直线旋转到位置，使得，如图2．设为平面与平面的交线．  (1)判断直线与直线的位置关系并证明；(2)若直线上的点满足，求出的长；(3)求直线与平面所成角的正弦值．33．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．    (1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．重难点6平面与平面所成的角34．三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.  (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值.35．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为梯形，.  (1)证明：平面；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.36．如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面.  (1)证明：平面；(2)已知四边形是边长为2的菱形，且，求平面与平面所成角的正弦值.37．校考期末）如图，和所在平面垂直，且，，求：  (1)直线与平面所成角的大小；(2)平面和平面夹角的余弦值.38．在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.   (1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.39．如图，扇形的半径为，圆心角，点为上一点，平面且，点且，面．  (1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值的大小．40．如图1，已知正三棱锥分别为的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点的展开点分别为，点的展开点分别为），其中的面积为．在三棱锥中，    (1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值． 重难点7已知夹角求其他量41．如图，在四棱锥中，，，，，，，过的平面分别交线段，于，.(1)求证：(2)若直线与平面所成角为，，，求平面和平面夹角的余弦值.42．在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.43．如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.   (1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．44．如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知.  (1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，平面与平面的夹角的大小为.45．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．  (1)证明：平面平面；(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．46．（多选）在棱长为1的正方体中，P为侧面（不含边界）内的动点，Q为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ）A．线段的长度为B．的最小值为2C．对任意点P，总存在点Q，使得D．存在点P，使得直线与平面所成的角为 47．（多选）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ）A．B．C．D．