第一章空间向量与立体几何4.2第1课时用空间向量研究距离问题基础训练(附解析新人教A版选择性必修第一册)
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用空间向量研究距离问题1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A.223B.1C.2D.22答案:A2.已知点M(0,1,-2),平面α过原点O且垂直于向量n=(1,-2,2),则点M到平面α的距离为()A.3B.2C.6D.6答案:B3.如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,F是平面A1B1C1D1的中心,E是AA1的中点,则直线EF到直线AC1的距离为()A.12B.66C.64D.63答案:B4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E是CC1的中点,则E到A1B的距离为()A.433B.26C.25D.32答案:D5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36B.33C.233D.32答案:B6.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有()A.AC⊥PB8
B.点C到直线PA的距离为27C.直线AB到平面PDC的距离为22D.点D到平面PBC的距离为4217答案:B;D7.(2021江苏南京江浦中学高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90∘,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,则点A1到平面ABD的距离为()A.63B.263C.53D.253答案:B8.(2021山东师大附中高二月考)在四棱锥P-ABCD中,AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),AP=(3,-1,4),则该四棱锥的高为()A.55B.15C.25D.255答案:A9.(2021北京科大附中高二期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.答案:42310.(2021山东济宁实验中学高二月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,则点A1到平面AB1E的距离为.答案:23素养提升练11.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、O分别是A1B1、A1C1的中点,P在该正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是55B.点O到平面ABC1D1的距离为24C.平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33D.点P到直线AB的距离为25368
答案:B;C解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(12,0,1),O(12,12,1),所以AB=(1,0,0),BE=(-12,0,1),所以A到直线BE的距离d1=AB2-(AB⋅BE|BE|)2=1-15=255,故A中说法错误;易知C1O=(-12,-12,0),平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1⋅C1O||DA1|=122=24,故B中说法正确;易知A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n⋅A1B=0,n⋅A1D=0,即x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1⋅n||n|=13=33.因为平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为33,故C中说法正确;易知AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1),且AP=34AB+12AD+23AA1.所以AP=(34,12,23),所以点P到AB的距离d=AP2-(AP⋅AB|AB|)2=181144-916=56,故D中说法错误.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,E是AA1的中点,则点D1到AC的距离为;CA1到平面BDE的距离是.答案:62;66解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,8
则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),E(0,0,12),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1).设M为AC的中点,则M(12,12,0).因为AD1=CD1,所以MD1的长即为点D1到AC的距离.易知|MD1|=62,所以点D1到AC的距离为62.易知CA1∥平面BDE,所以直线CA1上任一点到平面BDE的距离都相等,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),易知BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,12),EA1=(0,0,12),所以n⋅BD=-x+y=0,n⋅BE=-x+12z=0,令x=1,则y=1,z=2,所以n=(1,1,2),所以CA1到平面BDE的距离d=|EA1⋅n||n|=16=66.13.(2021山东济宁鱼台一中高二月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,AC∩BD=O,平面ABCD为菱形,边长为2,PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60∘,异面直线PB与CD所成的角为60∘.(1)求证:PO⊥平面ABCD;(2)若E是线段OC的中点,求点E到直线BP的距离.答案:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵PC⊥BD,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面APC,∴BD⊥平面APC,∵PO⊂平面APC,∴BD⊥PO,∵PA=PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC,又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.(2)以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,8
∵AB∥CD,∴∠PBA为异面直线PB与CD所成的角,∴∠PBA=60∘,∵在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60∘,∴OA=1,OB=3,设PO=a,a>0,则PA=a2+1,PB=a2+3,在△PBA中,由余弦定理得,PA2=BA2+BP2-2BA⋅BP⋅cos∠PBA,∴a2+1=4+a2+3-2×2×a2+3×12,解得a=6(负值舍去),∴O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,6),E(0,12,0),∴BE=(-3,12,0),BP=(-3,0,6),∴|BE|=132,|BP|=3,∴点E到直线BP的距离d=BE2-(BE⋅BP|BP|)2=134-1=32.14.(2021山东菏泽单县五中高二月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找出一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N到平面PAC的距离.答案:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(3,1,0),P(0,0,2),D(0,1,0),E(0,12,1),设N(a,0,c),则NE=(-a,12,1-c),AP=(0,0,2),AC=(3,1,0),使NE⊥平面PAC,∴NE⋅AP=2(1-c)=0,NE⋅AC=-3a+12=0,解得a=36,c=1,∴N(36,0,1),8
∴NA=(-36,0,-1),NE=(-36,12,0),设N到平面PAC的距离为d,则d=|NA⋅NE||NE|=312.15.(2021山东淄博高二期末)已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A,B,C,M的坐标分别是(2,0,2),(2,1,0),(0,4,-1),(2,3,-1),过点A,B,C的平面记为α.(1)证明:点A,B,C,M不共面;(2)求点M到平面α的距离.答案:(1)证明:由已知可得AB=(0,1,-2),AC=(-2,4,-3),AM=(0,3,-3),假设A,B,C三点共线,则存在λ∈R,使得AB=λAC,即(0,1,-2)=λ(-2,4,-3),所以0=-2λ,1=4λ,-2=-3λ,此方程组无解,所以AB,AC不共线,所以A,B,C不共线,所以过点A,B,C的平面α是唯一的,若点A,B,C,M共面,则存在x,y∈R,使得AM=xAB+yAC,即(0,3,-3)=x(0,1,-2)+y(-2,4,-3),即0=-2y,3=x+4y,-3=-2x-3y,此方程组无解,即不存在实数x,y,使得AM=xAB+yAC,所以点A,B,C,M不共面.(2)设平面α的法向量为m=(a,b,c),则m⋅AB=0,m⋅AC=0,所以b-2c=0,-2a+4b-3c=0,令c=2,则b=4,a=5,所以m=(5,4,2),所以点M到平面α的距离dM=|AM⋅m||m|=255.创新拓展练16.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60∘,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.8
(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM⊥平面ACE.命题分析本题考查了利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥的体积,考查了利用空间向量法证明线面垂直,考查了推理能力与计算能力.答题要领(1)设AC∩BD=O,以O为原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求出点M到平面DEC的距离,计算出△CDE的面积,利用三棱锥的体积公式可计算出三棱锥M-CDE的体积.(2)答题要领利用向量法证明出AC⋅DM=0,AE⋅DM=0,可得出DM⊥AC,DM⊥AE,再利用线面垂直的判定定理可证得DM⊥平面ACE.细解析(1)详设AC∩BD=O,以O为原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.易知z轴在平面BDEF内,且BF∥DE∥z轴,则C(0,3,0)、D(-1,0,0)、E(-1,0,2)、M(1,0,1),∴DE=(0,0,2),DC=(1,3,0),DM=(2,0,1),设平面DEC的法向量为n=(x,y,z),则n⋅DE=2z=0,n⋅DC=x+3y=0,取x=3,得n=(3,-1,0),∴M到平面DEC的距离h=|DM⋅n||n|=233+1=3,又S△DEC=12×2×2=2,∴三棱锥M-CDE的体积V=13×S△DEC×h=13×2×3=233.(2)证明:由(1)知A(0,-3,0),则AC=(0,23,0),AE=(-1,3,2),8
∵AC⋅DM=0×2+23×0+0×1=0,AE⋅DM=-1×2+3×0+2×1=0,∴DM⊥AC,DM⊥AE,∵AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,∴DM⊥平面ACE.解题感悟求点到平面的距离的主要方法:(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;(2)在三棱锥中用等体积法求解;(3)向量法,d=|n⋅MA||n|(n为平面的法向量,A为平面内一点,MA为过点A的斜线段).8
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