抛物线的标准方程及简单几何性质（八个重难点突破）（原卷版）

专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质知识点一抛物线的定义我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．注意：①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质标准方程图象性质范围对称轴x轴y轴顶点焦点 准线离心率知识点三通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径重难点1抛物线定义及应用1．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ）A．B．C．D．2．若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ）A．B．C．D．3．已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（    ）A．B．1C．D．24．已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则． 5．已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则．6．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则．重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线7．已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（    ）A．B．C．D．8．圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（    ）A．B．C．D．9．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ）A．B．C．D．10．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ）A．B．C．D．11．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（    ）A．B．或 C．D．或12．抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线，则的准线方程为．13．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为，，求经过它们的交点的直线方程.重难点3根据抛物线的方程求参数14．设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ）A．-4B．C．D．-3215．已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（    ）A．1B．C．2D．316．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（    ）A．B．1C．2D．417．已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（    ）A．B．C．D．18．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（    ）A．B．C．D． 19．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则.20．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则．重难点4抛物线的对称性21．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ）A．B．64C．D．8022．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　）A．4B．3C．2D．123．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（    ）A．B．C．D．24．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（    ）A．2B．3C．4D．625．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是．26．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点 ，则.重难点5抛物线的焦半径公式27．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ）A．3B．4C．5D．628．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（    ）.A．B．C．D．29．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）A．B．C．D．830．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）A．1B．C．2D．31．（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则O为线段MN的中点C．若，则D．若，则 32．（多选）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（    ）A．若与轴垂直，则B．若点的横坐标为2，则C．以为直径的圆与轴相切D．的最小值为233．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则.  重难点6抛物线的轨迹问题34．已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（    ）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对35．动点满足方程，则点M的轨迹是（    ）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线36．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为；若动点M满足，则M的轨迹方程为. 37．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．38．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．39．一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.重难点7抛物线的距离最值问题40．抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（    ）A．B．C．D．41．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）．A．13B．12C．10D．842．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为.43．已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为.44．已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为.45．设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是．46．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则 的最小值.重难点8抛物线的实际应用47．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A．B．C．D．48．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为.（精确到0.01）  49．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）   A．B．的准线方程为C．的焦点坐标为D．弹道上的点到直线的距离的最大值为50．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.    (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.51．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.  (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.52．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.   53．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．