等差数列的概念（九个重难点突破）（解析版）

专题4.2等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）（2）.（3）,且.27学科网（北京）股份有限公司 2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列中，，，则.【答案】【分析】先判断得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又，所以．故答案为：．2．已知数列的通项公式为，其中p，q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列中任意相邻两项与，作差得，它是一个与n无关的常数，所以数列一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．27学科网（北京）股份有限公司 (1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为，所以，因此不是等差数列．（3）因为，所以是等差数列，且公差为4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为，是常数，所以数列{an}是以为公差的等差数列．（2）因为，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．5．已知在数列中，，，则等于．【答案】27学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以．故答案为：．6．（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）A．B．C．(为常数)D．【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，故为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ）A．B．C．D．【答案】B27学科网（北京）股份有限公司 【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为.故选：B8．已知数列满足，（，），则．【答案】【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1，所以.故答案为：9．在数列中，，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据可得为等差数列，从而可求的通项公式.【详解】由题设可得，故为等差数列，故，故，故答案为：10．已知数列中，，且是等差数列，则（    ）A．36B．37C．38D．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出的通项公式，再利用累加法求.【详解】因为，所以，又是等差数列，故首项为3，公差为2，所以，27学科网（北京）股份有限公司 所以．故选：A.11．在数列中，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先把变形得到，再由等差数列的定义即可求出通项公式.【详解】由得，令，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以.故选：B12．已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为.【答案】【分析】根据等差数列的概念可得数列的通项公式，进而可得.【详解】设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即，故答案为：.重难点3等差数列基本量的计算27学科网（北京）股份有限公司 13．已知递增数列是等差数列，若，，则（    ）A．2024B．2023C．4048D．4046【答案】C【分析】设数列的公差为d（），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以为中心求，即可得结果.【详解】解法一：设数列的公差为d（），因为，，则，解得，所以；解法二：设数列的公差为d（），由得，又因为，即，解得，所以.故选：C．14．已知等差数列中，，，则首项与公差分别为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列的公差为，依题得，解得.故选：D15．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是．27学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出即可求出其取值范围.【详解】设等差数列的公差为，因为单调递增，所以，由，所以，则，所以的取值范围是.故答案为：16．已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则的取值范围是.【答案】【分析】根据已知判断等差数列先正后负，是递减数列，即可得出，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】，，，则，解得，，，即的取值范围是.故答案为：.17．已知在等差数列中，，，则．【答案】20【分析】设等差数列的公差为，进而列出方程求得，，进而求解即可.【详解】设等差数列的公差为，27学科网（北京）股份有限公司 由题意得，，解得，，则.故答案为：20.18．已知等差数列满足，则的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出【详解】由等差数列通项公式得，即，故，.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】12.【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d，所以解得b＝4，d＝，从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12.方法二：设c为斜边，因为是直角三角形且三边长a，b，c成等差数列，且面积为12，可得：解得故三角形的周长为a＋b＋c＝12.故答案为：12.20．已知等差数列满足，则.【答案】27学科网（北京）股份有限公司 【分析】由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.【详解】在等差数列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案为：.21．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（    ）A．0B．C．1D．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，整理得，而，解得，所以d的值为1.故选：C22．有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是.【答案】/0.75【分析】利用等差中项易知，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由，且，则，当且仅当时等号成立且满足题设.故答案为：23．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列的公差为d，由已知条件，得，27学科网（北京）股份有限公司 即，解得.故答案为：2.24．已知数列满足：，，则．【答案】【分析】由，得，可知为等差数列，从而可以求出的通项公式，进而可求出的值．【详解】解：由，得，∴为等差数列．又，，∴，∴．∴．故答案为．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列为等差数列，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当时，根据等差数列的性质可得，故充分性成立；27学科网（北京）股份有限公司 当为常数列时，有，由，，此时即可，故必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要条件，故选：A．26．已知正项等差数列，若，，则(    )A．B．C．D．【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出和，进而求出公差即可求解.【详解】在等差数列中，依题意，，故，解得，，故和是的两根，解得，，，因为为正项等差数列，故公差，从而，，则，即，所以.故选：.27．若是公差不为的等差数列，满足，则该数列的前项和（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设等差数列的公差为，可得，根据题意求得，然后利用等差数列的基本性质得出，利用等差数列求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，可得，，，27学科网（北京）股份有限公司 即，，，所以，，由等差数列的基本性质可得，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ）A．3B．6C．8D．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，，∴，∵数列为等差数列，∴，∴.故选：B.29．已知等差数列满足，则．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：30．在等差数列中，若为方程的两根，则．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.27学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为若为方程的两根，由韦达定理可得，所以由等差数列的性质得:．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an}满足，，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将递推关系代入，利用定义证明是等差数列；（2）由等差数列通项公式求，进而得.【详解】（1）∵，∴，又，∴是首项为，公差为的等差数列．（2）由（1）知，，∴.32．已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【答案】(1)，27学科网（北京）股份有限公司 (2)证明见解析，【分析】（1）采用迭代法，可求，;（2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式.【详解】（1）因为，且，当时，，当时，.（2）因为，所以，两边同时取倒数有：，令，有，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.33．已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.【答案】(1)(2)证明详见解析，【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得.【详解】（1）依题意，，，所以，，所以.27学科网（北京）股份有限公司 （2）依题意，，，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.34．数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列满足所以，（2）∵∴为等差数列.35．已知数列满足，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)将已知表达式变形为，通过配凑的方法可以得到是等差数列；(2)由第一问可以求得数列的通项公式，代入，用错位相减法可以求得前n项和.【详解】（1）由题可知，27学科网（北京）股份有限公司 所以，所以.所以.又，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得，所以所以.所以.所以.两式相减，得所以.36．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．求证：为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当时，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，当时，．所以，即，27学科网（北京）股份有限公司 所以，即，所以是以为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列的前项和为．证明：数列是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用与的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为，，，即，，即，是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列中，，若，则（    ）A．18B．24C．30D．36【答案】A【分析】由已知可得，则数列是等差数列，从而可求出，进而可求得，然后由可求得结果.【详解】由且数列不存在为0的项，得，所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以．由，得，故选：A．39．已知数列满足，则（    ）A．2023B．2024C．2027D．404627学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由①，得，②，由②①得，所以数列的偶数项是以为公差的等差数列，则，所以.故选：C.40．已知各项均不为0的数列满足，且，则．【答案】/【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列满足，即，即，即为首项是，公差为1的等差数列，故，故，故答案为：41．已知数列满足，，则.【答案】120【分析】根据，可得，从而可证得数列27学科网（北京）股份有限公司 是等差数列，可求得数列的通项，即可得解.【详解】因为，所以，即，等式两边开方可得：，即，所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所以.故答案为：120.42．设数列的前n项和为，且，，则．【答案】【分析】题中所给式子无法直接根据进行转化，考虑使用进行转化，先求出，再求．【详解】由，得到，然后两边同除以得到，即，于是数列是公差为的等差数列．而，于是，进而得到，所以当时，有（）．综上所述，．故答案为：27学科网（北京）股份有限公司 43．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）由得：，∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，所以；（2），所以.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ）A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元【答案】C【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为27学科网（北京）股份有限公司 ，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式……由此推断并十苯的分子式为.【答案】【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是：所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为：，稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为：，所以并n苯的分子式为：，27学科网（北京）股份有限公司 因此当时，得到并十苯的分子式为：.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】；.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假，所以有，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天，故答案为：；47．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．27学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】这台设备使用n年后的价值构成一个数列．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得．由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以，于是．根据题意，得，即，解这个不等式组，得．所以d的取值范围为．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（    ）A．尺B．13尺C．尺D．尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，27学科网（北京）股份有限公司 则由题意可得，，，则小满当日日影长．故选：D．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（    ）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年【答案】D【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为庚，由于，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ）A．升B．升C．升D．升【答案】A【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，设其首项为，公差为，由题意可得，27学科网（北京）股份有限公司 所以，解得，所以，即第5节竹子的容积为升．故选：A．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（    ）A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，所以，27学科网（北京）股份有限公司 令，即，解得，又，所以、、、，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为次.故答案为：.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为．故答案为：196.27学科网（北京）股份有限公司