福建省莆田第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版）

莆田一中2021~2022学年度上学期期末考试试卷高二数学选择性必修第一册+选择性必修第二册部分内容一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.数列，则是这个数列的第（）A.项B.项C.项D.项2.圆与圆的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.相离3直线恒过定点（）A.B.C.D.4.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）A.B.C.D.5.“”是“直线与直线互相垂直”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（）A.B.C.D. 7.如图在平行六面体中，与交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.8.设双曲线：（，）的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于另一个点（为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线l的倾斜角是B.直线l的横截距为C.点到直线l上的点的最短距离是2D.若直线，则10.已知双曲线两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.3D.11.我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“ 今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）A.长安与齐国两地相距1530里B.3天后，两马之间的距离为里C.良马从第6天开始返回迎接驽马D.8天后，两马之间的距离为里12.已知抛物线的焦点为，直线与交于点，（在第一象限），以为直径的圆与的准线相切于点．若，则（）A.，，三点共线B.的斜率为C.D.圆的半径是6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.写出一个截距相等且不过第一象限直线方程________．14.在等差数列中，，其前项和为，若，则_____.15.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,且|AB|＝4,若原点O是△ABC的垂心,则点C的坐标为_____．16.已知过椭圆：的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为_____.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在①，；②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．问题：设等差数列的前项和为，________________，若，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答记分．18.双曲线，离心率，虚轴长为2．（1）求双曲线的标准方程； （2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程．19.平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.（1）求圆的方程；（2）圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.20.如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.（1）求证：；（2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.21.如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由. 22.已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.