福建省 2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

福州一中2021-2022学年第一学期期末考试高二数学选择性必修一模块试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小趣给曲的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{an}中，a4+a9=8，则S12=（）A.96B.48C.36D.24【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求解即可.【详解】解：由等差数列的性质得.故选：B2.已知等比数列{an}中，，，则（）A.B.1C.D.4【答案】D【解析】【分析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故选：D3.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意，所以椭圆方程为.故选：C4.过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【分析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)．【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.5.已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n=（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由题可得当时，，当时，，即得. 【详解】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，∴，故当时，，当时，，故时，取得最大值.故选：B.6.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，－=1，则an=（）A.2n－1B.nC.2n－1D.2n-1【答案】A【解析】【分析】由题可得，利用与的关系即求.【详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴当时，，当时，也适合上式，所以.故选：A.7.曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π. A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.8.已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，]B.（0，]C.，1)D.，1)【答案】B【解析】【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则， 因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故选：B二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.关于双曲线-=1，下列说法正确的有（）A.实轴长为4B.焦点为（，0）C.右焦点到一条渐近线的距离为4D.离心率为5【答案】AC【解析】【分析】求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以实轴长，A选项正确.焦点为，B选项错误. 右焦点到渐近线的距离为，C选项正确.离心率，D选项错误.故选：AC10.已知等差数列与等比数列的前n项和分别为，，则下列结论正确的有（）A.数列是等比数列B.可能为C.数列是等差数列D.数列是等比数列【答案】AC【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的定义判断A、C，再根据计算判断B，利用特殊值判断D；【详解】解：设等差数列的公差为，对于A：，则数列为等比数列，故A正确；对于B：若，当时，，当时，，则，当时不满足，所以，故不是等比数列，故B错误；对于C：，则，则，故数列为等差数列，故C正确；对于D：令，则，则，则，，，显然，故D错误；故选：AC11.已知F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，则下列说法正确的是（） A.以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切B.若抛物线上的点T（2，t）到点F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4xC.为定值D.|MN|的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线的性质可得焦点的坐标及准线方程，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长，进而可得以为直径的圆的半径，再求的中点到准线的距离，可判断A，由抛物线的性质可得到准线的距离，由题意可得的值，求出抛物线的方程，可判断B，求解的值可判断C，求出的表达式，当且仅当时，可求出的最小值，判断D，【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，，则的中点，由，得，所以，所以，对于A，，则以为直径圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，所以以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以A正确，对于B，因为抛物线上的点T（2，t）到点F的距离为4，所以点T（2，t）到准线的距离为，得，则抛物线的方程为，所以B错误， 对于C，为定值，所以C正确，对于D，，所以当时，取得最小值，所以D正确，故选：ACD12.等差数列前n项和分别为，则下列说法正确的有（）A.数列是递增数列B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】，所以是递增数列，A选项正确.，所以，B选项正确.，C选项错误.当时，，D选项错误.故选：AB三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.【答案】27【解析】 【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2714.已知双曲线的渐近线上两点A，B的中点坐标为（2，2），则直线AB的斜率是_________.【答案】##【解析】【分析】设出直线的方程，通过联立直线的方程和渐近线的方程，结合中点的坐标来求得直线的斜率.【详解】双曲线，，渐近线方程为，设直线的方程为，，由，由，所以，所以直线的斜率是.故答案为：15.椭圆x2+=1上的点到直线x+y-4=0的距离的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,求出即得解. 【详解】解：设与直线x+y-4=0平行的直线方程为,所以，代入椭圆方程得，令或.当时，平行线间的距离为；当时，平行线间的距离为.所以最小距离为.故答案为：.16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:+=1和双曲线C2:-=1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为_________. 【答案】【解析】【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以①，②，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，可得，由可得，即，解得，，故.【小问2详解】解：，因此，.18.已知圆M经过点F（2，0），且与直线x=-2相切.（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）过点（-1，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设圆心，轨迹两点的距离公式列出方程，整理方程即可；(2)设直线l的方程和点A、B的坐标，直线方程联立抛物线方程，消去x得出关于y的一元二次方程，结合根的判别式和韦达定理表示出弦，进而列出不等式，解之即可.【小问1详解】设圆心，由题意知，，整理，得， 即圆心M的轨迹C方程为：；【小问2详解】由题意知，过点(-1，0)的直线l与抛物线C相交于点A、B，所以直线l的斜率存在且不为0，设直线，点，则，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，综上，或，所以或，即直线l的斜率的取值范围为.19.已知数列满足，设.（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）计算可得出，根据等比数列的定义可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.【小问1详解】证明：对任意的，，则，则， 因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，所以，数列是等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，，则.小问2详解】解：，则，，下式上式得.20.如图四棱锥P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等边三角形.（1）设面PAB面PDC=l，证明:l//平面ABCD；（2）线段PC内是否存在一点E，使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为，如果存在，求λ=的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在【解析】【分析】（1）由已知可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，再由线面平行的判定可得结论，（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为,所以，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为平面，且平面面，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，【小问2详解】设的中点为，因为△PDC是等边三角形，所以，因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因为平面，所以，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，假设存在这样的点，由已知得，则，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，则 所以，整理得，解得（舍去），或，所以21.已知椭圆，斜率为的动直线与椭圆交于A，B两点，且直线与圆相切.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形的面积的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，求出，即可得解；（2）设，，，利用圆心到直线的距离等于半径，得到，再联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式表示出 ，再根据及基本不等式求出，最后再计算直线斜率不存在时三角形的面积，即可得解；【小问1详解】解：圆，圆心为，半径；设直线，即，则，解得，所以或；【小问2详解】解：因为直线的斜率存在，设，，，即，则，所以，即，联立，消元整理得，所以，，所以所以 因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当轴时，取，，则，此时，所以；22.已知A（-3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为，直线AM，NB相交于点P.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）点P在定直线x=9上.理由见解析.【解析】【分析】(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可. 【小问1详解】设点，则，又，所以，整理，得，即轨迹M的方程C为：；【小问2详解】点P在定直线上.由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；设直线MN方程为：，点，则，消去x，得，有，，，，所以直线PA方程为：，直线PB方程为：，所以点P的坐标为方程组的解，有，即，整理，得，解得， 即点P在定直线上.