福建省莆田锦江中学2022-2023学年高一上学期期末质检数学试题（解析版）

莆田锦江中学2022-2023学年上学期期末质检试卷高一数学试题一、单选题1.已知点是角终边上一点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的定义进行求解即可.【详解】因为点是角终边上一点，所以，故选：D2.函数过定点（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据且求解.【详解】因为且，所以要求恒过定点，则满足解得，所以恒过定点.故选：B3.已知函数，则的值为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中函数表达式代入求解即可.【详解】因为，所以.故选：C4.化简的值为（）A.0B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数幂、对数的运算公式进行求解即可.【详解】，故选：B5.三个数，，之间的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】解：函数是R上的减函数，而，则，函数是R上的增函数，而，则，函数是上的增函数，而，则，于是得.故选：C. 6.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的值为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像平移伸缩变换法则可得，进而可得结果.【详解】函数图象向右平移个单位长度，可得；再将的图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍，可得，即，所以.故答案为：A7.若，且，则（）A.B.C.D.7【答案】C【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再运用平方关系求出进而得到最后运用两角和的正切公式可求出的值.【详解】依题意故选：C 8.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案.【详解】的定义域为，因为，所以是偶函数，当时，单调递增，由此可判断出选A故选：A二、多选题9.下列各式中，值为的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，； 对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：ABD.10.函数的一个零点所在的区间不可能是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用零点存在性定理判断零点所在的区间，进而确定不可能的区间即可.【详解】由题设，函数单调递增，，，，，，，综上，零点所在的区间不可能是、、.故选：ACD11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（） A.，，B.函数的图象关于坐标原点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上的值域为【答案】ABC【解析】【分析】最值求，周期求，特殊点求，观察图像找出特征值即可求出函数，后根据的性质可作出判断.【详解】A选项：由图象知；设的最小正周期为T，，所以得，当时，函数取得最小值，则，即，又，则当时，符合题意．所以，，，所以A正确．B选项：为奇函数，所以B正确．C选项：令，解得，所以函数图象的对称轴方程为，当时，，所以C正确．D选项：因为，，，所以，所以，所以D不正确．故选：ABC12.已知函数，下列结论正确的是（） A.若，则B.C.若，则或D.若方程有两个不同的实数根，则【答案】BCD【解析】【分析】对A，分段讨论求解即可；对B，根据解析式先求出，再求出；对C，分段讨论解不等式可判断；对D，画出函数图象，观察图象可得.【详解】对A，若，则，解得；若，则，解得，故A错误；对B，，，故B正确；对C，若，则，解得；若，则，解得，故C正确；对D，画出的函数图象，方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，，则观察图象可得，故D正确.故选：BCD 三、填空题13._______．【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正弦差角公式的应用，可得答案.【详解】.故答案为：.14.计算__________．【答案】5【解析】【分析】利用指数和对数的运算求解.【详解】解：，，，，故答案为：515.函数的最小值是___________.【答案】0 【解析】【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最小值即可.【详解】解：令，则，则，则函数在上减函数，则，即函数的最小值是0，故答案为：0.16.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】依题意，等腰底边，高，则的面积为，而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为.故答案为：四、解答题17.化简求值： （1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值.（2）利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式．18.已知函数，其中且.（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）比较与的大小.【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析【解析】分析】（1）由真数大于0求解即可；（2）由，可得函数的零点；（3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.【详解】（1）由，得，所以函数的定义域为；（2）令，即，则，所以， 所以函数的零点为2；（3），，当时，函数是增函数，所以，即当时，函数是减函数，所以，即【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.19.已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型. 20.已知函数（且）.（1）求定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）是奇函数，证明见解析（3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【解析】【分析】（1）由函数有意义所需条件，求的定义域；（2）由函数奇偶性的定义，判断并证明的奇偶性；（3）分类讨论，根据函数单调性求解不等式.【小问1详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【小问2详解】是奇函数，理由如下：由(1)知函数的定义域关于原点对称，，即函数是奇函数。【小问3详解】若，则，即，若，则，解得；若，则，解得即当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为21.已知函数.（1）求函数的值域；（2）求函数单调递增区间.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）先对函数化简为，然后利用正弦函数的取值范围可求出的值域；（2）由解出的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：（1）因为，所以所以的值域为；（2）由，得，所以单调递增区间为【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.22.已知函数的部分图象如图. （1）求函数的解析式;（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据图象由函数最值求得，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【小问1详解】由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故，周期，，，则，从而，代入点，得，则，，即，，又，则..【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故可得；再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象故可得；，，，.