福建省龙岩市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检查数学试题（解析版）

龙岩市2022~2023学年第一学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意：1．试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分．2．作图请使用2B铅笔，并用黑色签字笔描画．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．1.若函数的定义域为集合M，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.【详解】由已知得，解得且，即函数的定义域为集合.故选：D.2.命题p：“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：“”的否定为“”.故选：A 3.的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将大角变小角，然后根据特殊角的三角函数得答案..详解】.故选：B.4.已知，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来比较大小.【详解】由在R上单调递减得，又在上单调递减得，，故选：C.5.对于等式，下列说法中正确的是（）A.对，等式都成立B.对，等式都不成立C.当时，等式成立D.，等式成立【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断即可.【详解】因为，当时，，显然不满足，故C错误，A错误；当时，，，此时满足，故D正确，B错误；故选：D6.若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足 的的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由，可得或解得或，即，故选：C.7.在中，，若边上的高等于，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件作图，得到为等腰直角三角形且，进而可求得，再将展开计算可得答案.【详解】如图过作交CB的延长线于点D，则，，则，即为等腰直角三角形，，即， 设，，则，，，.故选：A.8.函数在区间上的所有零点之和为（）A.6B.8C.12D.16【答案】B【解析】【分析】根据题意整理可得，将函数零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得：，令，且，可得，∵与均关于点对称，由图可设与的交点横坐标依次为，根据对称性可得，故函数在上所有零点之和为.故选：B. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．9.若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（）A.B.0C.1D.2【答案】AB【解析】【分析】根据单调性得二次函数对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.【详解】二次函数对称轴为，因为二次函数在区间上是增函数， 所以，解得.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.不等式的解集是B.若正实数x，y满足，则的最大值为2C.若，则D.不等式对恒成立【答案】AD【解析】【分析】对A：解一元二次不等式即可判断；对B、C：利用基本不等式分析判断；对D：整理可得，结合正弦函数的有界性分析判断.【详解】对A：，解得，故不等式的解集是，A正确；对B：∵，则，当且仅当时等号成立，B错误；对C：∵，令，则，可得，当时，则，当且仅当，即时等号成立；当时，则，当且仅当，即时等号成立故；综上所述：，C错误；对D：，∵，∴不等式对恒成立，D正确. 故选：AD.11.设，共中a，b是正实数．若对一切恒成立，则（）A.B.的单调递增区间是C.D.不存在正实数a，b，使得【答案】ACD【解析】【分析】根据题意结合辅助角公式分析运算可得，进而可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】由辅助角公式可得：，由题意可得：为函数的最大值，则，整理得，即，∴，对A：，A正确；对B：∵，令，解得，故的单调递增区间是，B错误；对C： ，故，C正确；对D：对，则恒成立，故不存在正实数a，b，使得，D正确.故选：ACD.12.已知函数的图象过点和点，且图象无限接近直线，则（）A.B.函数的递增区间为和C.函数是偶函数D.方程有个解【答案】ACD【解析】【分析】首先判断函数的对称性即可的，再根据函数过点的坐标，得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，从而作出函数图象，结合图象一一分析即可.【详解】解：因为，所以，，即，所以函数的图象关于直线对称，又已知其图象无限接近直线，，，由已知得，，，的图象如图所示： 所以，故A选项正确.由图可知的单调递增区间为，所以B错误.又为偶函数，所以C正确由即，记注意到最大值，，且g(x)开口向下，所以与有个交点，即方程有个解，所以D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】2【解析】【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.14.设，若对任意实数x都有成立，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】将问题转化为，然后利用换元法将转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可. 【详解】若对任意实数x都有成立，则，又，令，，，其对称轴为，故函数在上单调递增，，.故答案为：.15.如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】连接，设，过点作交于点，过点作交于点，即可表示出，，，再根据平面几何的性质得到，从而表示出，结合二次函数的性质求出的最大值及此时的值，再根据梯形面积公式计算可得.【详解】连接，设，，过点作交于点，过点作交于点，设圆的半径为，则，则，，因为，所以，则，即梯形为等腰梯形，所以， 所以，所以当，即时，，所以，，，所以，，所以故答案为：.16.已知函数，若在定义域内存在实数x，使得，则称函数为定义域上的局部奇函数．若函数是上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解.【详解】由是上的局部奇函数，所以在上恒成立，所以，即，由局部奇函数的定义，存在，使得，即存在，使得，所以存在，使得，即，又因为，所以，所以，即，综上. 故答案：.【点睛】关键点点睛：本题注意隐含条件，是上的局部奇函数，必须在上有意义恒成立.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.【小问1详解】，当时，，；【小问2详解】，又由（1），，或，实数a的取值范围是.18.已知．（1）求； （2）若是第三象限角，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简，然后代入计算即可；（2）先根据条件求出和，再利用两角和的余弦公式计算即可.【小问1详解】由已知得，；【小问2详解】由（1）得，即，又，得，是第三象限角，，．19.已知幂函数为偶函数，．（1）若，求；（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围【小问1详解】对于幂函数，得，解得或，又当时，不为偶函数，，，，，解得；【小问2详解】关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先证明在上单调递增：任取，则，，，，又， ，，即，故在上单调递增，，，又，解得.20.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移，得到函数的图象．求函数在区间的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变形的公式将函数变形为的形式，进而可得最小正周期；（2）先通过平移求出函数的解析式，再利用余弦函数的图像和性质可求得值域.【小问1详解】，的最小正周期【小问2详解】函数的图象向右平移得，，， 当，即时，，当，即时，，故函数在区间的值域为.21.我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线，当时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为，且过点；赛道的后一部分为曲线，当时，该曲线为函数（，且）图象的一部分，其中点．（1）求函数关系式；（2）已知点，函数，设点Q是曲线上的任意一点，求线段长度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，设，带入求出，当时，把点，分别带入，求出；（2）根据（1）求出，根据两点之间距离公式和二次函数性质求出线段 长度的最小值．【小问1详解】由题意得，当时，设，因为曲线过点，所以，则，所以，当时，把点，分别带入，即，解得，所以.【小问2详解】由条件得，设，又因为点，则，设，则，函数在上单调递增，所以，，当，即时，.22.已知函数，其中，且．（1）当时，判断函数零点的个数；（2）设函数的定义域为D，若均为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）个（2）【解析】【分析】（1）首先求出的解析式，再判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；（2）首先求出的解析式，依题意只需即可，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的值域，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.【小问1详解】解：当时，因为=，，，，又因为，及在定义域上均单调递增，所以在上单调递增，故函数在上有且只有一个零点.【小问2详解】解：由于函数是“可构造三角形函数”，其定义域为，因为且，要使得是可构造三角形函数，只需即可， 当时，在上单调递减且，在上单调递增，所以是上的减函数，则的值域为，由得恒成立，所以；当时，，符合题意；当时，在上单调递减且，在上单调递减，所以是上的增函数，则的值域为，由，所以，又，故；当时，在上单调递增且，在上单调递减，所以是上的减函数，则的值域为，由得，又，所以，综上，实数的取值范围为.