福建省厦门市双十中学2023-2024学年八年级上学期数学期末考试卷（解析版）

厦门市双十中学2023-2024学年八年级（上）数学期末测试一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．）1.年全国民航工作会议介绍了年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）A.春秋航空B.东方航空C.厦门航空D.海南航空【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的定义，进行判断即可得．【详解】解：A、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；C、不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；D、是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点晴】本题考查了轴对称的图形，解题的关键是掌握轴对称的定义：图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形．2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A.三角形两边之和大于第三边B.三角形具有稳定性C.三角形两边之差小于第三边D.直角三角形的性质【答案】B【解析】第21页/共21页 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性．构造三角形支架比较牢固稳定．【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定，∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性．故选：B．3.当时，下列分式中有意义的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．【详解】解：当时，，∴四个分式中，只有有意义，故选：B．4.一个六边形的内角和是外角和的（）倍．A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，先计算出六边形内角和，再根据多边形外角和为360度即可得到答案．【详解】解：，∴一个六边形的内角和是外角和的2倍，故选：A．5.已知下图中两个三角形全等，则等于（）A.B.C.D.【答案】D第21页/共21页 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：如图，两个三角形全等，，两边的夹角相等，，故选：D．6.下列各式计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方和单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意；故选：C．7.对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（）A.等角对等边B.线段中垂线上的点到线段两段距离相等C.垂线段最短D.等腰三角形“三线合一”【答案】B第21页/共21页 【解析】【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE，OE=OD，∴AO是线段DE的垂直平分线，∴∠AOB=90°；则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．8.如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、加上，无法构成完全平方式，符合题意；故选D．9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（）第21页/共21页 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标，关键是作辅助线证明两个三角形全等．【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图,∵A点坐标为,∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∵为等腰直角三角形，且，∴，在与中，∴，∴，∴点B的坐标为，故选：B．10.为提高市民环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放型单车，型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少，购买型单车的单价比购买型单车的单价少50元，则第21页/共21页 型单车每辆车的价格是多少元？设型单车每辆车的价格为元，根据题意，列方程正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，再根据型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少列出方程即可．【详解】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，由题意得，，故选：A．二．填空题（本题共6小题，第11题每空2分，其余每小题4分，共32分）11.计算：（1）____；（2）____；（3）____；（4）____．分解因式：（5）____；（6）____．【答案】①.②.##③.④.⑤.⑥.##【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；（2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；（3）根据积的乘方计算法则求解即可；第21页/共21页 （4）先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可；（5）利用平方差公式分解因式即可；（6）利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3），故答案为：；（4），故答案为：；（5），故答案为：；（6），故答案为：．【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，分解因式，熟知相关计算法则是解题的关键．12.已知，，则的值是__．第21页/共21页 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，再代值计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．13.华为搭载了最新一代处理器麒麟，这款芯片采用了最先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．14.等腰三角形的两边长为3和7，则第三边长为_____．【答案】7【解析】【详解】试题解析：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，当3为腰时，其它两边为3和7，∵所以不能构成三角形，故舍去，故答案为7．点睛：三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.第21页/共21页 15.如图，中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在、上分别截取、；然后分别以、为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为__．【答案】1.2【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图、含角的直角三角形的性质，由尺规作图步骤可得平分，从而得到，由含角的直角三角形的性质可得，由垂线段最短和角平分线的性质可得：当时，最小，的最小值为．【详解】解：由尺规作图步骤可得：平分，，，，，由垂线段最短可得，当时，最小，此时，故答案为：．16.在平面直角坐标系中，是以为底边的等腰三角形，，，，其中．则的范围是______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，三线合一定理，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形三线合一可得点A在的垂直平分线上，则，即可求出b的取值范围．【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，∴点A在的垂直平分线上，第21页/共21页 ∴，整理得：，∵，∴，则，∴，故答案为：．三．解答题（本大题有9小题，共78分）17.计算：【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根和平方，再计算加减法即可．【详解】解：原式．18.先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为的值代入求值．【答案】；2，答案不唯一【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】解：，∵，，，第21页/共21页 当时，原始．19.如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，平行线的性质，先由三角形中线的定义得到，再由平行线的性质得到，由此证明，即可证明．【详解】证明：∵是边上的中线，∴，∵，∴，∴，∴．20.如图，在中．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，连接．（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；第21页/共21页 （2）根据线段垂直平分线的性质得到，则，进而利用三角形外角的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，∴，∵，∴，∴【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．21.对于，，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式．若关于，的分式是完美对称式，则：（1）；（2）若完美对称式，满足：，且，，求的值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，完全平方公式的变形求值：（1）根据新定义得到，化简得到，解得；第21页/共21页 （2）根据题意可得，进而得到，再由可得答案．【小问1详解】解：∵关于，的分式是完美对称式，∴，∴，∴，∴∴；【小问2详解】解：∵完美对称式，满足：，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．22.观察下列等式：①；②；③；④．（1）请按以上规律写出第⑥个等式：___________；（2）猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：第21页/共21页 ___________．【答案】（1）（2），见解析（3）4850【解析】【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；（2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证；（3）根据，，可得原式，进而可得答案．【小问1详解】解：第⑥个式子为：；故答案为：；【小问2详解】猜想第个等式为：，证明：左边右边，故答案：；【小问3详解】原式．故答案为：4850．【点睛】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键．23.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450第21页/共21页 千米．B、C两城的距离为400千米．（1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．（2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由．【答案】（1）甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时；（2）乙车先到达C城．【解析】【分析】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，再根据时间=路程速度即可得出结论；（2）先求出甲乙两车到达C城时间的表达式，再比较其大小即可．【小问1详解】解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，∵A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，两辆车同时到达C城，∴，解得，经检验是原方程的根，且符合题意；∴．答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时；【小问2详解】∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，∴乙车到达C的时间，甲车到达C的时间，∵，∴乙车先到达C城．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，分式的值的大小比较，熟知时间=路程速度是解答此题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，已知，且、满足第21页/共21页 （1）求点的坐标；（2）如图1，已知点，点、关于轴对称，连接交轴于，交的延长线于，判断和的数量关系，并说明理由；（3）如图2，若点、，连、，试确定的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．【答案】（1）（2），理由见解析（3）的值不发生变化，，理由见解析【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件分别求出的值，得到A点的坐标；（2）先证明，得到，进而得到，则，即可证明，再证明，即可推出；（3）作点F关于y轴对称点G，过点A作轴于H，连接，证明得到，进而证明为等腰直角三角形，则可得．【小问1详解】解：由题意得，，∴，∴∴点A的坐标为；【小问2详解】解：，理由如下；第21页/共21页 设与y轴交于点H，∵关于x轴对称，∴轴，，∵，点A的坐标为，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；【小问3详解】解：的值不发生变化，，理由如下：第21页/共21页 如图所示，作点F关于y轴的对称点G，过点A作轴于H，连接，则，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即∴为等腰直角三角形，∴，∴的值不发生变化，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，二次根式有意义的条件等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25.如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，．第21页/共21页 （1）求的度数；（2）如图2，当时，延长至，使得，连接、，①求证：平分；②若，，求的长度．【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，得到，则由三角形外角的性质可得；（2）①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N，利用四边形内角和定理求出，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则由角平分线的判定定理即可证明平分；②设，则，求出，则由含30度角的直角三角形的性质得到，则，由全等三角形的性质得到；证明，得到，进一步证明，得到，则，解得，由此可得．【小问1详解】解：∵等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N，∴，∵，第21页/共21页 ∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴平分；②设，则，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由（2）①得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，第21页/共21页 ∴，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．第21页/共21页