2024中考数学第一轮专题复习： 四点共圆

yang451989四点共圆判定方法判定1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。判定2：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。判定3：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。判定4：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。判定5：同斜边的直角三角形的顶点共圆。判定6：若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。~1~ yang451989判定7：若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆（割线定理）。判定8：若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）。【学以致用】1.（1）已知AB是O的弦，且AB=2，点C是O上的点，∠=°ACB45，则O的半径=________：（2）如图1，在四边形ABCD中，∠=ABC∠=°ADC90，对角线AC=6，∠=BCD60°，求BD的长；（3）如图2，∆ABC三个顶点坐标分别为A(−4,0)，B(8,0)，C(6,5)，M、N分别是边AB，AC上的动点，在变化过程中MN的长度始终等于3，过点M、N分别作MP⊥AB，NP⊥AC直线MP与NP交于点P，连接PB，PC，求∆PBC面积的最小值．~2~ yang4519892.如图，等边三角形∆ABE和矩形ABCD有共同的外接圆O，且AB=30.（1）求证：∠=°CED120；（2）在劣弧AB上有动点F，连接DF、CF、BF，DF分别交AE、AB于点M、P，CF交BE于点N．①设∆MNF与∆CDF的周长分别为C和C，试判断CC−的值是否发生变化，若1221不变则求出该值；若变化请说明理由；②若PN=53，求BF的长．3.如图1，点E，F在正方形ABCD的边AD，DC上，且AE=DF=kAD，BE与AF交于点G．（1）图1中与∠FAD相等的角是________；1（2）如图2，当k=时，连接DG，2①求∠EGD的度数；②过点G作DG的垂线分别交AD，BC于M，N，求EMMN:的值．~3~ yang4519894.（1）问题发现如图1，∆ACB和∆DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.①线段AD，BE之间的数量关系为________；②∠AEB的度数为________；（2）拓展探究如图2，∆ACB和∆AED均为等腰直角三角形，∠=ACB∠=°AED90，点B，D，E在同BD一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；CE（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=10，若点P满足PD=2，且∠=°BPD90，请直接写出点C到直线BP的距离.5.（1）（问题发现）如图1，∆ABC和∆ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为_______②∠=BEC______．（2）（类比探究）如图2，∆ABC和∆ADE均为等腰直角三角形，∠=ACB∠=°AED90，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在∆ABC中，∠=°ACB90，∠=°A30，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3．将∆ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）~4~ yang4519896.已知如图，在平面直角坐标系中，点Bm(,0)，An(,0)分别是