2024中考数学第一轮专题复习： 图形的旋转（学生版）

图形的旋转(30题)一、单选题1(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于()A.80°B.85°C.90°D.95°2(2023·天津·统考中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是()A.∠CAE=∠BEDB.AB=AEC.∠ACE=∠ADED.CE=BD3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD=1．以下结论：①BD=CE；②BD⊥CE；3-3③当点E在BA的延长线上时，MC=；21④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．2其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个4(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AB=2，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE=1，CG=3；点D是CB延长线上一点，且CD=2．连接BG，DF，1 在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长m度分别为m和n，则的值为()nA.2B.3C.10D.13二、填空题5(2023·江苏连云港·统考中考真题)以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形ABCDE的顶点D落在直线BC上，则正五边ABCDE旋转的度数至少为°．6(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形ABOC，且∠OAC=100°，则四边形ABOC旋转的角度是．7(2023·湖南常德·统考中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BD的值为．CE2 2k8(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知曲线C1、C2分别是函数y=-(x<0),y=(k>0,x>0)的xx图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上(B在C的左侧)，现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为．9(2023·辽宁·统考中考真题)如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．10(2023·江西·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为．11(2023·上海·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α(0°<α<180°)，旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连接AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=．12(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ABC，若点B的对应点B恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．3 13(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=1，将△ABC绕点ADA逆时针方向旋转90°，得到△ABC．连接BB，交AC于点D，则的值为．DC14(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)已知等腰△ABC，∠A=120°，AB=2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△ABC，延长CA交直线BC于点D．则AD的长度为．15(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G(如图1)，此时线段CG的长是，现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转(如图2)，边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．4 三、解答题16(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．17(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．5 18(2023·四川达州·统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．19(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；S1(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出的值．S26 20(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△ABC的位置，那么可以得到：AB=AB，AC=AC，BC=BC；∠BAC=∠BAC，∠ABC=∠ABC，∠ACB=∠ACB()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板ABC的位置．①请在图中作出点O；②如果BB=6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．7 21(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB4=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB=．5(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C,D．①如图2，当点C落在射线CA上时，求BP的长．②当△ACD是直角三角形时，求BP的长．22(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．8 23(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△ADC,∠ADB=∠ADC=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△ADC的边AD、AD重合，再将△ADC绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△ADC绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．9 24(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．10 25(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△APC，连接PP，由PC=PC，∠PCP=60°，可知△PCP为三角形，故PP=PC，又PA=PA，故PA+PB+PC=PA+PB+PP≥AB，由可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为AB，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)11 26(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．27(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．12 28(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连EF接AC交BD于点O，求的值．NM13 29(2023·湖南·统考中考真题)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．14 30(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由．15