备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用

第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象及其应用1.[2024江西宜春模拟]要得到函数y＝3cosx的图象，只需将y＝3sin（2x＋π4）的图象上所有的点（　C　）A.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度B.横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度C.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度解析　y＝3cosx＝3sin（x＋π2），将y＝3sin（2x＋π4）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝3sin（x＋π4）的图象，再向左平移π4个单位长度得到y＝3sin（x＋π2）即函数y＝3cosx的图象.故选C.2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　D　）A.f（x）＝23sin（π8x＋π4）B.f（x）＝23sin（π8x＋3π4）C.f（x）＝23sin（π8x－π4）D.f（x）＝23sin（π8x－3π4）解析　由题图可得，函数的最大值为23，最小值为－23，又A＞0，故A＝23.由题图可得，f（x）图象两个相邻的对称中心分别为（－2，0），（6，0），所以函数的最小正周期T＝2×[6－（－2）]＝16，又ω＞0，所以ω＝2πT＝2π16＝π8.所以f（x）＝23sin（π8x＋φ）.解法一（由对称中心定φ）　由点（－2，0）在函数图象上可得f（－2）＝23sin[π8× （－2）＋φ]＝23sin（φ－π4）＝0，又（－2，0）在函数图象的下降段上，所以φ－π4＝π＋2kπ（k∈Z），解得φ＝2kπ＋5π4（k∈Z）.因为｜φ｜＜π，所以φ＝－3π4.所以f（x）＝23sin（π8x－3π4）.解法二（由最值点定φ）　由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为（－2，0），（6，0），所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为（2，－23）.代入函数解析式可得f（2）＝23sin（π8×2＋φ）＝－23，即sin（π4＋φ）＝－1，所以π4＋φ＝2kπ－π2（k∈Z），解得φ＝2kπ－3π4（k∈Z）.因为｜φ｜＜π，所以φ＝－3π4.故f（x）＝23sin（π8x－3π4）.3.[2023江西模拟]将函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数y＝g（x）的图象，则f（0）＋f（π3）＝（　C　）A.0B.1C.2D.－1解析　依题意，g（x）＝Acos[ω（x－π6）＋φ]＝Acos（ωx－ωπ6＋φ），由题图可知，A＝2，由g（x）的周期T满足T4＝π3－π12＝π4，得T＝2πω＝π，所以ω＝2，所以g（x）＝2cos（2x－π3＋φ），由g（π3）＝2，得2×π3－π3＋φ＝2kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－π3，所以f（x）＝2cos（2x－π3），所以f（0）＋f（π3）＝2cos（－π3）＋2cosπ3＝2.故选C.4.[2024天津滨海模拟]将y＝sin（2x＋π3）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（　B　）A.2π3B.π6C.π3D.π12解析　将函数y＝sin（2x＋π3）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数y＝sin[2（x－φ）＋π3]的图象，∵所得函数图象关于原点对称，即π3－2φ＝kπ（k∈Z），∴φ＝π6－kπ2（k∈Z），∵φ＞0，∴当k＝0时，φ取得最小值π6.故选B. 5.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f（x）的两个交点，且｜MN｜＝2π9，则f（π）的值为（　D　）A.2B.－1C.－2D.－3解析　由题中函数图象可知A＝2.因为M，N是直线y＝－1与曲线f（x）＝2sin（ωx＋φ）的两个相邻交点，所以sin（ωx＋φ）＝－12，结合题中图象可知，ωxM＋φ＝－5π6，ωxN＋φ＝－π6，解得xM＝－5π6－φω，xN＝－π6－φω，所以｜MN｜＝xN－xM＝2π3ω＝2π9，解得ω＝3.因为点（－4π9，0）在f（x）的图象上，所以2sin（－4π3＋φ）＝0，结合“五点作图法”，得φ＝π3，（方法点拨：根据“五点作图法”可知，f（x）图象上的点（－4π9，0）对应y＝sinx图象上的点（－π，0））所以f（x）＝2sin（3x＋π3），所以f（π）＝2sin（3π＋π3）＝－2sinπ3＝－3，故选D.6.[多选/2024江苏南通模拟]已知函数f（x）＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝π3对称，则（　AB　）A.a＝－33B.函数f（x）的图象关于点（－5π12，0）对称C.函数f（x）在（－π3，π4）上单调递增D.将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度后与原图象关于y轴对称，则φ的最小值为π2解析　函数f（x）＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝π3对称，则x＝π3时，f（x）取最值，f（π3）＝sin2π3＋acos2π3＝32－a2，则有32－a2＝1+a2或32－a2＝－1+a2，解得a＝－33，A选项正确；f（x）＝sin2x－33cos2x＝233sin（2x－π6），f（－5π12）＝ 233sin[2（－5π12）－π6]＝233sin（－π）＝0，函数f（x）的图象关于点（－5π12，0）对称，B选项正确；x∈（－π3，π4）时，2x－π6∈（－5π6，π3），正弦函数在（－5π6，π3）上不单调，C选项错误；将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数g（x）＝233sin[2（x＋φ）－π6]的图象，由f（x）与g（x）的图象关于y轴对称，则f（－x）＝g（x），即sin（－2x－π6）＝sin[2（x＋φ）－π6]，则－2x－π6－[2（x＋φ）－π6]＝2kπ或－2x－π6＋2（x＋φ）－π6＝（2k＋1）π，k∈Z，又－2x－π6－[2（x＋φ）－π6]＝2kπ，k∈Z不恒成立，所以－2x－π6＋2（x＋φ）－π6＝（2k＋1）π，k∈Z，解得φ＝kπ＋2π3，k∈Z，由φ＞0，则k＝0时φ的最小值为2π3，D选项错误.故选AB.7.函数f（x）＝Asin（ωx－π6）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，设α∈（0，π2），f（α2）＝2，则α＝　π3　.解析　∵函数f（x）＝Asin（ωx－π6）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为A＋1＝3，∴A＝2.∵其图象的相邻两条对称轴之间的距离为12×2πω＝π2，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x－π6）＋1.∵α∈（0，π2），∴α－π6∈（－π6，π3）.∵f（α2）＝2，∴2sin（α－π6）＋1＝2，∴sin（α－π6）＝12.又α－π6∈（－π6，π3），∴α－π6＝π6，可得α＝π3.8.[2024江苏联考]已知函数f（x）＝2sinωxcosωx＋23cos2ωx－3（ω＞0）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）将函数f（x）的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，求m的取值范围.解析　（1）f（x）＝2sinωxcosωx＋23cos2ωx－3＝sin2ωx＋3cos2ωx＝2sin（2ωx＋π3），因为函数f（x）的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.（2）将函数f（x）＝2sin（2x＋π3）的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到y＝2sin[2（x＋π6）＋π3]＋2＝2sin（2x＋2π3）＋2的图象，所以g（x）＝2sin（2x＋2π3）＋2.令g（x）＝0，则sin（2x＋2π3）＝－1，所以2x＋2π3＝3π2＋2kπ（k∈Z），即x＝kπ＋5π12（k∈Z），因为g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，所以53π12≤m＜65π12.所以m的取值范围为[53π12，65π12）.9.[2024江苏扬州模拟]阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π），如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于等于0.5m的总时间为（　D　）图1图2A.13sB.23sC.1sD.43s解析　因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，所以该阻尼器的运动周期T＝t3－t1＝4，所以ω＝2πT＝π2.由t1＋t2＝2，得直线t＝1是函数y＝sin（π2t＋φ）的图象的一条对称轴，则π2＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.因为｜φ｜＜π，所以φ＝0，所以y＝sinπ2t.由sinπ2t≥12（0≤t≤4），得π6≤π2t≤5π6，解得13≤t≤53，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于等于0.5m的总时间为53－13＝43（s），故选D.10.[全国卷Ⅲ]设函数f（x）＝sin（ωx＋π5）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点； ②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点；③f（x）在（0，π10）单调递增；④ω的取值范围是[125，2910）.其中所有正确结论的编号是（　D　）A.①④B.②③C.①②③D.①③④解析　解法一　如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点，所以①正确，②错误；根据xA≤2π＜xB，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当0＜x＜π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f（x）在（0，π10）单调递增，所以③正确.解法二　由0≤x≤2π，得π5≤ωx＋π5≤2πω＋π5.因为f（x）＝sin（ωx＋π5）（ω＞0）在[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋π5＜6π，解得125≤ω＜2910，故④正确，排除B，C.当0＜x＜π10时，π5＜ωx＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜29π100＋20π100＝49π100＜π2，故f（x）在（0，π10）单调递增，③正确，排除A.故选D.11.[2024西安市铁一中学模拟]若函数f（x）＝2sin（ωx＋π3）（ω＞0），A（α，2），B（β，0）是函数f（x）图象上的两点，且｜AB｜的最小值为4+π24，则f（5π6）的值为　－1　.解析　因为A（α，2），B（β，0），所以｜AB｜＝（α－β）2+4，则（α－β）2+4≥4+π24，所以｜α－β｜min＝π2，此时点A，B分别为函数图象上相邻的最高点和对称中心，设T是f（x）的最小正周期，则T4＝π2，所以π2ω＝π2，解得ω＝1，所以f（x）＝2sin（x＋π3），所以f（5π6）＝2sin（5π6＋π3）＝2sin（π＋π6）＝－2sinπ6＝－1.12.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，则使f（2a＋x）＋f（－x）＝0成立的a的最小正值为　5π12　. 解析　由f（2a＋x）＋f（－x）＝0，可知函数f（x）的图象关于点（a，0）对称.由题图可知，A＝2，f（0）＝2sinφ＝1，得sinφ＝12，因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6，所以f（x）＝2sin（ωx＋π6），又f（x）的图象过点（11π12，0），所以由五点作图法知11π12ω＋π6＝2π，解得ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋π6）.令2x＋π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2－π12，k∈Z，所以函数f（x）图象的对称中心为（kπ2－π12，0），k∈Z，所以a＝kπ2－π12，k∈Z，则当k＝1时，a取得最小正值，为5π12.13.[2023广东中山纪念中学模拟]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx（ω＞0），将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象.g（x）的部分图象如图所示（D，C分别为函数图象的最高点和最低点），其中CA·CB＝｜AD｜22，则ω的值为　π　.解析　f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sin（ωx＋π3），将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）＝3sin（12ωx＋π3）的图象.因为D，C分别为函数图象的最高点和最低点，所以｜DA｜＝｜AC｜＝｜CB｜，由CA·CB＝｜AD｜22，得｜CA｜2·cos∠ACB＝｜AD｜22，所以cos∠ACB＝12，因为0＜∠ACB＜π，所以∠ACB＝π3，所以△ABC为等边三角形.因为△ACB的高为3，所以｜AB｜＝｜AC｜＝3sinπ3＝2，即函数g（x）的最小正周期T＝4，又ω＞0，所以由T＝2π12ω＝4，解得ω＝π. 14.[与数列综合]已知数列{an}的通项公式是an＝f（nπ6），其中f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π2）的部分图象如图所示，Sn为数列{an}的前n项和，则S2025的值为（　B　）A.－1B.0C.12D.32解析　由题图可知，3T4＝5π6－π12＝3π4，则T＝π，所以ω＝2πT＝2.又f（x）的图象过点（π12，1），所以sin（2×π12＋φ）＝1，得π6＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以φ＝π3＋2kπ（k∈Z），又｜φ｜＜π2，所以φ＝π3，f（x）＝sin（2x＋π3），所以an＝f（nπ6）＝sin（nπ3＋π3），则数列{an}是周期为2ππ3＝6的周期数列.由an＝sin（nπ3＋π3）可得a1＝32，a2＝0，a3＝－32，a4＝－32，a5＝0，a6＝32，则S6＝0，S2025＝337S6＋S3＝0，故选B.