备考2024届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式

第4讲基本不等式1.[2024河北保定模拟]设x，y均为正数，且x＋y＝4，则xy的最大值为（　C　）A.1B.2C.4D.16解析　因为x，y均为正数，且x＋y＝4，所以xy≤（x＋y2）2＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故选C.2.[2024江苏常州模拟]已知a＞1，b＞12，且2a＋b＝4，则1a－1＋12b－1的最小值是（　D　）A.1B.43C.2D.3解析　因为2a＋b＝4，所以（4a－4）＋（2b－1）＝3.因为a＞1，b＞12，所以1a－1＋12b－1＝13[（4a－4）＋（2b－1）]（44a－4＋12b－1）＝13[4（2b－1）4a－4＋4a－42b－1＋5]≥13[24（2b－1）4a－4·4a－42b－1＋5]＝3，当且仅当4（2b－1）4a－4＝4a－42b－1，即a＝32，b＝1时，等号成立.故选D.3.当x＞0时，函数y＝3+x＋x21+x的最小值为（　B　）A.23B.23－1C.23＋1D.4解析　因为x＞0，所以y＝3+x＋x21+x＝31+x＋x＝31+x＋（x＋1）－1≥231+x·（x+1）－1＝23－1，当且仅当31+x＝x＋1，即x＝3－1时，等号成立.故选B.4.[2023山西忻州第二次联考]已知0＜a＜2，则1a＋92－a的最小值是（　C　）A.4B.6C.8D.16解析　因为0＜a＜2，所以1a＞0，92－a＞0，所以1a＋92－a＝12[a＋（2－a）]（1a＋92－a）＝12（2－aa＋9a2－a＋10）≥12×（22－aa·9a2－a＋10）＝8，当且仅当2－aa＝9a2－a，即a＝12时等号成立.5.[多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则下列选项中正确的是（　AD　）A.a＜v＜abB.v＝ab C.ab＜v＜a＋b2D.v＝2aba＋b解析　设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＝a（b－a）a＋b＞0，所以v＞a，所以a＜v＜ab，故选AD.6.[多选/2023重庆市三检]已知x＞0，y＞0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论正确的是（　BC　）A.xy的取值范围是（0，9]B.x＋y的取值范围是[2，3）C.x＋2y的最小值是42－3D.x＋4y的最小值是3解析　对于A，因为x＞0，y＞0，x＋y＋xy－3＝0，所以3－xy＝x＋y≥2xy，所以0＜xy≤1，即0＜xy≤1，当且仅当x＝y时取等号，故A不正确.对于B，由x＋y＋xy－3＝0，得3－（x＋y）＝xy≤（x＋y2）2，当且仅当x＝y时取等号，即（x＋y）2＋4（x＋y）－12≥0，结合x＞0，y＞0，得x＋y≥2.又3－（x＋y）＝xy＞0，（易错：忽略根据xy＞0这一隐含条件求x＋y的范围）所以x＋y＜3，即2≤x＋y＜3，故B正确.对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝－y+3y+1＝－1＋4y+1，所以x＋2y＝－1＋4y+1＋2y＝4y+1＋2（y＋1）－3≥24y+1·2（y+1）－3＝42－3，当且仅当4y+1＝2（y＋1），即y＝2－1时等号成立，故C正确.对于D，由C选项知：x＝－1＋4y+1，则x＋4y＝－1＋4y+1＋4y＝4y+1＋4（y＋1）－5≥24y+1·4（y+1）－5＝3，当且仅当4y+1＝4（y＋1），即y＝0或y＝－2时等号成立，而y＞0，故不能取等号，所以x＋4y＞3，故D不正确.综上所述，选BC.7.[2024广西河池联考]若x＞0，y＞0，且1x＋2y＝4，则yx的最大值为　2　.解析　因为x＞0，y＞0，所以4＝1x＋2y≥22yx，整理可得yx≤（422）2＝2，当且仅当1x=2y，1x+2y=4，即x＝12，y=1时，等号成立，故yx的最大值为2.8.[2023济南市模拟]已知正数x，y满足4x＋2y＝xy，则x＋2y的最小值为　18　. 解析　由4x＋2y＝xy，得4x+2yxy＝4y＋2x＝1.又x，y是正数，所以x＋2y＝（x＋2y）（4y＋2x）＝10＋4xy＋4yx≥10＋24xy·4yx＝18，当且仅当4xy＝4yx，即x＝y＝6时等号成立，所以x＋2y的最小值为18.9.某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为x2件，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为　10　.解析　由题意，得nx＝6000，每年的手续费为300n元，库存费为x2×10＝5x＝30000n（元），总费用为（300n＋30000n）元.因为n＞0，所以300n＋30000n≥2300n·30000n＝6000，当且仅当300n＝30000n，即n＝10时，总费用最低.10.[2024山东烟台模拟]如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　16　（单位：cm2）.解析　如图，连接OC，设OB＝x（0＜x＜4），则BC＝OC2－OB2＝16－x2，AB＝2OB＝2x，所以矩形ABCD的面积为AB·BC＝2x16－x2≤x2＋（16－x2）＝16，当且仅当x2＝16－x2，即x＝22时，等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16cm2.11.[2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是（　C　）A.y＝x2＋2x＋4B.y＝｜sinx｜＋4｜sinx｜C.y＝2x＋22－xD.y＝lnx＋4lnx解析　选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝（x＋1）2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意.选项B，解法一　因为y＝｜sinx｜＋4｜sinx｜≥2｜sinx｜·4｜sinx｜＝4，所以y≥4，当且仅当｜sinx｜＝4｜sinx｜，即｜sinx｜＝2时取等号，但是根据正弦函数的有界性可知｜sinx｜＝2不可能成立，（易错警示：利用基本不等式求最值时，必须关注“等号”能否取到） 因此可知y＞4，所以选项B不符合题意.解法二　设｜sinx｜＝t，则t∈（0，1]，根据函数y＝t＋4t在（0，1]上单调递减可得ymin＝1＋41＝5，（难点突破：“换元”，构造函数，灵活运用对勾函数的单调性）所以选项B不符合题意.选项C，因为y＝2x＋22－x≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意.选项D，当0＜x＜1时，lnx＜0，y＝lnx＋4lnx＜0，所以选项D不符合题意.（易错警示：只有当x＞1，即lnx＞0时，才有y＝lnx＋4lnx≥2lnx·4lnx＝4，当且仅当lnx＝4lnx，即lnx＝2，x＝e2时取等号，此时ymin＝4）故选C.12.[2024江西南昌模拟]正数m，n满足m＋n＝5，则m+1＋n+3的最大值为（　B　）A.25B.32C.6D.3解析　因为正数m，n满足m＋n＝5，所以（m+1）2＋（n+3）2＝9，所以由a2＋b22≥（a＋b2）2可知，（m+1）2＋（n+3）22≥（m+1＋n+32）2，即92≥（m+1＋n+32）2，可得（m+1＋n+3）2≤18，所以m+1＋n+3≤32，当且仅当m+1＝n+3且m＋n＝5，即m＝72，n＝32时等号成立，故选B.13.[多选/新高考卷Ⅰ]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则下列选项中正确的是（　ABD　）A.a2＋b2≥12B.2a－b＞12C.log2a＋log2b≥－2D.a＋b≤2解析　对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥12，A正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝12，B正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则log214＋log234＝－2＋log234＜－2，C错误；对于选项D，∵2＝2（a＋b），∴[2（a＋b）]2－（a＋b）2＝a＋b－2ab＝（a－b）2≥0，∴a＋b≤2，D正确.故选ABD. 14.[天津高考]若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1ab的最小值为　4　.解析　因为ab＞0，所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab＝4a2b2+1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2=2b2，ab＝12时等号成立，（连续使用两次基本不等式，两个等号成立的条件要一致）故a4+4b4+1ab的最小值是4.15.[角度创新/2024河北石家庄模拟]李老师在黑板上写下一个等式1（）＋4（）＝1，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”.小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字　3　.解析　设第一个括号填x，第二个括号填y，则1x＋4y＝1，x＞0，y＞0，所以x＋y＝（x＋y）（1x＋4y）＝1＋4xy＋yx＋4≥5＋24＝9，当且仅当y＝2x且1x＋4y＝1，即x＝3，y＝6时等号成立.故答案为3.