备考2024届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语1.[2024福建南平模拟]若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（　C　）A.∃x＞0，x2－3x＋2≤0B.∃x≤0，x2－3x＋2≤0C.∀x＞0，x2－3x＋2≤0D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0解析　命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题p的否定为∀x＞0，x2－3x＋2≤0.故选C.2.[2023辽宁名校联考]“点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z”是“f（x）＝tanx的图象关于点A对称”的（　C　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　若f（x）＝tanx的图象关于点A对称，可得点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z，若点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z，可得f（x）＝tanx的图象关于点A对称，故选C.3.[2024河南名校联考]若直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为α，则“α不是钝角”是“A·B＜0”的（　B　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　若A·B＜0，则l的斜率－AB＞0，则α不是钝角.若α＝0°或α＝90°，则A·B＝0.故“α不是钝角”是“A·B＜0”的必要不充分条件.故选B.4.[2024长春市质量监测（一）]“a＞b＞1”是“loga2＜logb2”的（　A　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析　若a＞b＞1，则有log2a＞log2b＞0，由不等式的性质得，1log2a＜1log2b，即loga2＜logb2，充分性成立.若loga2＜logb2，则当loga2和logb2异号时，loga2＜0，logb2＞0，所以0＜a＜1＜b；当loga2和logb2同号时，a＞b＞1或0＜b＜a＜1.显然必要性不成立.所以“a＞b＞1”是“loga2＜logb2”的充分不必要条件.故选A.5.[2024江苏镇江模拟]命题“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　A　）A.a≥4B.a≥3C.a≥2D.a≥1解析　由∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0，得a≥x2－2x在x∈[0，3]恒成立.y＝x2－2x的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，则其在[0，3]上的最大值为32－2×3＝3，则a≥3，结合选项可知，a≥3的充分不必要条件为a≥4，故选A.6.[2024山东聊城模拟]若存在x∈（0，2]，使不等式ax2－2x＋3a＜0成立，则实数a的取值范围是（　A　）A.{a｜a＜33}B.{a｜0≤a≤47}C.{a｜a＞33}D.{a｜a＞47}解析　当x∈（0，2]时，由ax2－2x＋3a＜0，可得a（x2＋3）＜2x，则a＜（2xx2+3）max，因为2xx2+3＝2x＋3x≤22x·3x＝33，当且仅当x＝3x（x＞0），即x＝3时，等号成立，所以当x∈（0，2]时，2xx2+3的最大值为33，故a＜33.故选A.7.[2024重庆模拟]“x＞2”是“2x－42x＞3”的（　C　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　令t＝2x，则t＞0，（提示：指数函数的值域为（0，＋∞））由2x－42x＞3得t2－3t－4＞0（t＞0），解得t＞4.即2x＞4，解得x＞2.所以“x＞2”是“2x－42x＞3”的充要条件，故选C.8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知{an}是等比数列，则“a2＜a1＜0”是“{an}为递减数列”的（　A　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析　设数列{an}的公比为q.充分性：若a2＜a1＜0，则a1q＜a1＜0，所以q＞1，所以an＝a1qn－1＜0，an+1an＝q＞1，所以an＋1＜an，所以{an}为递减数列，充分性成立.必要性：当a1＝12，q＝12时，an＝12n，满足数列{an}为递减数列，此时a1＞a2＞0，必要性不成立.所以“a2＜a1＜0”是“{an}为递减数列”的充分不必要条件，故选A.9.[浙江高考]已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（　B　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析　若l，m，n在同一平面内，则可能有l，m，n两两平行，所以l，m，n可能没有公共点，所以不能推出l，m，n两两相交，充分性不成立；由l，m，n两两相交且l，m，n不经过同一点，可知必有三个交点，设为A，B，C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定唯一平面α，易得l，m，n均在α内，所以l，m，n在同一平面内，必要性成立.故选B.10.[多选/2024广东广州模拟]下列命题中为真命题的是（　CD　）A.∃x∈R，x2＋2x＋2＜0B.∃x∈R，x2＋x＝－1C.∀x∈R，x2－x＋14≥0D.∀x∈R，－x2－1＜0解析　对于A，∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1＞0，故A为假命题；对于B，当x2＋x＋1＝0时，Δ＝1－4＝－3＜0，故B为假命题；对于C，∀x∈R，x2－x＋14＝（x－12）2≥0，故C为真命题；对于D，因为∀x∈R，x2≥0，所以－x2－1≤－1＜0，故D为真命题.故选CD.11.[2024湖南模拟]已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　C　） A.[－2，＋∞）B.[－2，2]C.（－2，2]D.（－2，2）解析　设A＝{x｜a≤x≤a2＋1}，B＝{x｜－2≤x≤5}.若“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则A⫋B，则a≥－2，a2+1≤5，且等号不同时成立，解得－2＜a≤2，故选C.12.[2023安徽六安模拟]已知向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（1－sinθ，2cosθ），且θ∈[0，π]，则“θ＝π6”是“a∥b”的（　A　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　a＝（sin2θ，cosθ），b＝（1－sinθ，2cosθ），且θ∈[0，π].若a∥b，则2cosθsin2θ＝cosθ·（1－sinθ），即cosθ（sinθ＋1）（2sinθ－1）＝0，解得θ＝π6或θ＝π2，故“θ＝π6”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.13.[与物理综合/多选]设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是（　BD　）解析　对于A，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件；对于B，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，则开关S闭合，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，p⇏q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮则开关S闭合，所以p⇔q，所以p是q的充要条件.故选BD.14.已知函数f（x）＝3x2＋2x－a2－2a，g（x）＝196x－13.若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围为　[－2，0]　.解析　当x2∈[0，2]时，g（x2）∈[－13，6]. f（x）＝3x2＋2x－a2－2a，其图象的对称轴方程为x＝－13，所以当x∈[－1，1]时，f（x）min＝f（－13）＝－a2－2a－13，f（x）max＝f（1）＝－a2－2a＋5.即当x1∈[－1，1]时，f（x1）的值域为[－a2－2a－13，－a2－2a＋5].又由题意可知，f（x1）的值域是[－13，6]的子集，所以－a2－2a－13≥－13，－a2－2a+5≤6，解得－2≤a≤0.即实数a的取值范围是[－2，0].