第一章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)A．{－1,0,1,2}B．{0,1,2,3}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案　C解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，故A∩B＝{0,1,2}．2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)A．16B．32C．15D．31答案　B解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，所以集合A的子集个数为25＝32.3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cosx>－x2＋1”的否定是(　　)A．∀x>0，cosx≤－x2＋1B．∀x≤0，cosx>－x2＋1C．∃x>0，cosx≤－x2＋1D．∃x≤0，cosx≤－x2＋1答案　C4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案　C解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)A．3B．2C．1D．6答案　D解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)A.－>0B.－<0C．x2z－y2z>0D．xz>yz答案　D解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)A．5个B．6个C．9个D．12个答案　B解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．8．当a>0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)答案　C解析　令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则a2x＋a－2x＝m2－2，原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．所以t>－m恒成立，又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，所以t>－2＝－1.二、多项选择题9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)A．A∩(∁UB)＝∅B．A∪B＝AC．A⊆BD．B⊆A答案　AC解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，故AC正确，BD错误．10．以下命题中是真命题的是(　　)A．∃x∈R，使ex<x＋1成立B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件答案　CD解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；当x＝时f(x)＝sin＝cos2x，故函数f(x)为偶函数，故B错误；当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期反之同样成立，故C正确；“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)A．ab≥B．ab≤C.＋≥4D.2≤答案　BCD解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以ab≤＝，即A错误，B正确；因为a2＋b2＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即C正确；因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以2＝≤＝(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是(　　)A．a<bB．a＋<b＋C．a＋b<2abD．a＋ab<b＋ba答案　AD解析　因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.对于A，∵23<32，则2<，从而0＝log31<a＝log32<＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为33>52，则3>，则＝<b＝log53<log55＝1，即0<a<<b<1，A正确；对于B，－＝(a－b)＋＝，因为0<a<<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋>b＋，B错误；对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，所以，a＋b>2ab，C错误；对于D，构造函数f(x)＝，其中0<x<e，则f′(x)＝.当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即<，可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D正确．三、填空题13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案　[2，＋∞)解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，∴A与B的关系如图，∴a≥2.14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案　[－2，－1)解析　由≤0，得解得－3≤x<－2，即q：B＝{x|－3≤x<－2}，因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a，即p：A＝{x|3a<x<a}，若p是q的必要条件，则q⇒p，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以B⊆A，所以即－2≤a<－1.15．下列命题中，真命题的序号是________．①∃x∈R，sinx＋cosx＝；②若p：<0，则綈p：≥0；③lgx>lgy是>的充要条件；④△ABC中，边a>b是sinA>sinB的充要条件；⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．答案　④解析　对①，∵sinx＋cosx＝sin≤，>，故①为假命题；对②，命题p：<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为假命题；对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lgx>lgy不成立，故③为假命题；对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sinA>sinB的充要条件，故为真命题；对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．答案　[－1,0)∪(8,9]解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期