第一章　§1.2　常用逻辑用语

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§1.2　常用逻辑用语考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)教材改编题1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)A．∃x∈R，ex－1≥xB．∀x∈R，ex－1≤xC．∃x∈R，ex－1<xD．∀x∈R，ex－1<x答案　C解析　由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”．2．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1≤sinx≤1C．∃x∈R，2x<0D．∃x∈R，tanx＝2答案　BD解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sinx≤1，所以B选项正确；因为2x>0，所以C选项错误；因为函数y＝tanx∈R，所以D选项正确．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3.题型一　充分、必要条件的判定成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例1　(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“>1”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由a>b>0，得>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案　B解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以a与b共线，当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　)A．0<<B．a2>b2C．lna>lnbD．2a>2b答案　AC解析　由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝，所以，要使f(a)>f(b)，则>，即a>b≥0.0<<⇔a>b>0，A符合题意；lna>lnb⇔a>b>0，C符合题意；B，D选项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．题型二　充分、必要条件的应用例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期思维升华　求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解　(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，所以⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，所以m的取值范围为[－1,2]．题型三　全称量词与存在量词命题点1　含量词命题的否定例3　(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解答案　B解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．命题点2　含量词命题真假的判断例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．∃x∈R，≤1B．对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D．∃x∈R，lnx≥x－1答案　AD解析　当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题；当n为偶数，且x<0时，＝－x，故B项是假命题；当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；当x＝1时，lnx≥x－1，故D项是真命题．命题点3　含量词命题的应用例5　若“∃x∈，sinx<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　)A.B．－C.D．－答案　D解析　因为“∃x∈，sinx<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sinx”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y＝sinx在上单调递增，所以x＝－时，y＝sinx最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－，所以m≤－，所以实数m的最大值为－.思维升华　含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3　(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)A．∀n∈N，n2≥2n＋5成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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