备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题

突破4　圆锥曲线中的证明、探索性问题命题点1　证明问题例1[2022新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±3x.（1）求C的方程.（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.解析　（1）由题意得c＝2　①.因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，所以ba＝3　②.又c2＝a2＋b2　③，所以由①②③得a＝1，b＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1.（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t（k≠0），将直线PQ的方程代入C的方程，整理得（3－k2）x2－2ktx－t2－3＝0，Δ＞0，故t2＋3－k2＞0，则x1＋x2＝2kt3－k2，x1x2＝－t2+33－k2＞0，所以3－k2＜0，所以x1－x2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝23（t2+3－k2）k2－3.设点M的坐标为（xM，yM），则yM－y1＝－3（xM－x1),yM－y2＝3（xM－x2),两式相减，得y1－y2＝23xM－3（x1＋x2），又y1－y2＝（kx1＋t）－（kx2＋t）＝k（x1－x2），所以23xM＝k（x1－x2）＋3（x1＋x2），解得xM＝kt2+3－k2－ktk2－3；两式相加，得2yM－（y1＋y2）＝3（x1－x2），又y1＋y2＝（kx1＋t）＋（kx2＋t）＝k（x1＋x2）＋2t，所以2yM＝k（x1＋x2）＋3（x1－x2）＋2t，解得yM＝3t2+3－k2－3tk2－3＝3kxM.因此，点M的轨迹为直线y＝3kx，其中k为直线PQ的斜率.若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k（x－2），设A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令点A在直线y＝3x上，则由yA＝k（xA－2),yA＝3xA，解得xA＝2kk－3，yA＝23kk－3， 同理可得xB＝2kk＋3，yB＝－23kk＋3，所以xA＋xB＝4k2k2－3，yA＋yB＝12kk2－3.点M的坐标满足yM＝k（xM－2),yM＝3kxM，得xM＝2k2k2－3＝xA＋xB2，yM＝6kk2－3＝yA＋yB2，故M为AB的中点，即｜MA｜＝｜MB｜.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时M不在直线y＝3kx上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m（x－2）·（m≠0），A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令点A在直线y＝3x上，则由yA＝m（xA－2),yA＝3xA，解得xA＝2mm－3，yA＝23mm－3，同理可得xB＝2mm＋3，yB＝－23mm＋3，因为M在AB上，且｜MA｜＝｜MB｜，所以xM＝xA＋xB2＝2m2m2－3，yM＝yA＋yB2＝6mm2－3，又点M在直线y＝3kx上，所以6mm2－3＝3k·2m2m2－3，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k（x－2），设A（xA，yA），B（xB，yB），不妨令点A在直线y＝3x上，则由yA＝k（xA－2),yA＝3xA，解得xA＝2kk－3，yA＝23kk－3，同理可得xB＝2kk＋3，yB＝－23kk＋3.设AB的中点为C（xC，yC），则xC＝xA＋xB2＝2k2k2－3，yC＝yA＋yB2＝6kk2－3.因为｜MA｜＝｜MB｜，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－1k（x－xC），即y－6kk2－3＝－1k（x－2k2k2－3）上，与y＝3kx联立，得xM＝2k2k2－3＝xC，yM＝6kk2－3＝yC，即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.方法技巧有关证明问题的解题策略 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立关于某个变量的函数，用代数方法证明.训练1[2021新高考卷Ⅱ]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且离心率为63.（1）求C的方程.（2）设M，N是C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝3.解析　（1）由题意，得c＝2，又e＝ca＝63，所以a＝3，所以b＝a2－c2＝1，所以C的方程为x23＋y2＝1.（2）由（1）知x2＋y2＝1（x＞0）.证必要性：若M，N，F三点共线，则｜MN｜＝3.由题意知直线MN的斜率存在且不为0，由对称性不妨设直线MN的方程为y＝k（x－2）（k＜0），则｜2k｜k2+1＝1，得k＝－1.所以直线MN的方程为x＋y－2＝0.由x＋y－2=0，x23＋y2=1，消去y，得4x2－62x＋3＝0，Δ＞0.设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝322，x1x2＝34，所以｜MN｜＝1+(－1）2·｜x1－x2｜＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2×92－4×34＝3.由对称性可知当k＞0时，｜MN｜＝3.故必要性得证.证充分性：若｜MN｜＝3，则M，N，F三点共线.由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，由对称性不妨设直线MN的方程为y＝kx＋m（k＜0，m＞0），则｜m｜k2+1＝1，得m＝1+k2.由y＝kx＋m，x23＋y2=1，消去y，得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0，得（3k2＋1）x2＋6k1+k2x＋3k2＝0，Δ＞0.设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝－6k1+k23k2+1，x1x2＝3k23k2+1，所以｜MN｜＝1+k2·｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1+k2·（－6k1+k23k2+1）2－4·3k23k2+1＝1+k2·－26k3k2+1＝3，整理得k4－2k2＋1＝0，得k＝－1，所以m＝2，所以直线MN的方程为y＝－x＋2. 令y＝0，得x＝2，即直线MN过点F，所以M，N，F三点共线.由对称性知当k＞0时，M，N，F三点共线，充分性得证.综上，M，N，F三点共线的充要条件为｜MN｜＝3.