备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题命题点1定点问题

突破3　圆锥曲线中的定点、定值、定线问题命题点1　定点问题例1[2023全国卷乙]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为53，点A（－2，0）在C上.（1）求C的方程；（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.解析　（1）因为点A（－2，0）在C上，所以b＝2.因为椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝53，所以a2＝9，故椭圆C的方程为y29＋x24＝1.（2）由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k（x＋2），P（x1，y1），Q（x2，y2），由y－3=k（x+2),y29＋x24=1，得（4k2＋9）x2＋（16k2＋24k）x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝（16k2＋24k）2－4（4k2＋9）（16k2＋48k）＝－36×48k＞0，故x1＋x2＝－16k2+24k4k2+9，x1x2＝16k2+48k4k2+9.直线AP：y＝y1x1+2（x＋2），令x＝0，解得yM＝2y1x1+2，同理得yN＝2y2x2+2，则yM＋yN＝2×y1（x2+2）＋y2（x1+2）（x1+2)(x2+2）＝2×（kx1+2k+3)(x2+2）＋（kx2+2k+3)(x1+2）（x1+2)(x2+2）＝2×2kx1x2＋（4k+3)(x1＋x2）+8k+12x1x2+2（x1＋x2）+4＝2×2k（16k2+48k）＋（4k+3)(－16k2－24k）＋（8k+12)(4k2+9）16k2+48k+2(－16k2－24k）+4（4k2+9）＝2×10836＝6.所以MN的中点的纵坐标为yM＋yN2＝3，所以MN的中点为定点（0，3）.方法技巧求解直线或曲线过定点问题的基本思路1.把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.2.由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）.3.从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 训练1[2022全国卷乙]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（32，－1）两点.（1）求E的方程；（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT＝TH.证明：直线HN过定点.解析　（1）∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），∴可设椭圆E的方程为x2a2＋y24＝1，又椭圆E过B（32，－1），∴94a2＋14＝1，得a2＝3，∴E的方程为x23＋y24＝1.（2）当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1，由x=1，x23＋y24=1，得y2＝83，∴y＝±223.结合题意可知M（1，－223），N（1，223），∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－223.易知点T的横坐标xT∈[0，32]，直线AB的方程为y－（－2）＝-1-(-2)32－0×（x－0），即y＝23x－2，由y＝－223，y＝23x－2，得xT＝3－6，∴T（3－6，－223）.∵MT＝TH，∴H（5－26，－223），lHN：y－223＝42326－4（x－1），即y＝2（3+6）3x－2.易知直线HN过定点（0，－2）.当直线MN的斜率存在时，如图，设M（x1，y1），N（x2，y2），lMN：y＝kx＋m（k＋m＝－2）.由y＝kx＋m，x23＋y24=1，得（3k2＋4）x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ＞0，∴x1＋x2＝－6km3k2+4，x1x2＝3m2－123k2+4.过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1，与直线AB的方程联立，得y＝y1，y＝23x－2，得xT＝3（y1+2）2，∴T（3（y1+2）2，y1）.∵MT＝TH，∴H（3y1＋6－x1，y1）， lHN：y－y2＝y1－y23y1+6－x1－x2（x－x2），即y＝y1－y23y1+6－x1－x2x＋y2－y1－y23y1+6－x1－x2·x2.令x＝0，得y＝y2－（y1－y2）x23y1+6－x1－x2＝－（x1y2＋x2y1）+3y1y2+6y2－（x1＋x2）+6+3y1＝－（x1y2＋x2y1）+3y1y2+6y2－（x1＋x2）+6+3（y1＋y2）－3y2.∵y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝－12k2+4m23k2+4，y1＋y2＝（kx1＋m）＋（kx2＋m）＝k（x1＋x2）＋2m＝8m3k2+4，x1y2＋x2y1＝x1（kx2＋m）＋x2（kx1＋m）＝2kx1x2＋m（x1＋x2）＝－24k3k2+4，∴－（x1y2＋x2y1）＋3y1y2＝24k3k2+4＋－36k2+12m23k2+4＝－36k2+12m2+24k3k2+4＝－24（k2－3k－2）3k2+4，－（x1＋x2）＋6＋3（y1＋y2）＝6km3k2+4＋6＋24m3k2+4＝6km+18k2+24+24m3k2+4＝12（k2－3k－2）3k2+4，∴y＝－24（k2－3k－2）3k2+4+6y212（k2－3k－2）3k2+4－3y2＝－2，∴直线HN过定点（0，－2）.综上，直线HN过定点（0，－2）.