备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题命题点2范围问题

命题点2　范围问题例2[2021北京高考]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）过点A（0，－2），其四个顶点的连线围成的四边形面积为45.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P（0，－3）的直线l的斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线y＝－3于点M，N，若｜PM｜＋｜PN｜≤15，求k的取值范围.解析　（1）由题意可知，b＝2，2ab＝45，所以a＝5，所以椭圆E的标准方程为x25＋y24＝1.（2）由题意可得直线l的方程为y＝kx－3，由y＝kx－3，x25＋y24=1，消去y得（4＋5k2）x2－30kx＋25＝0，Δ＝（－30k）2－4×25×（4＋5k2）＝400（k2－1）＞0，所以k＞1或k＜－1，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1＋x2＝30k5k2+4，x1x2＝255k2+4　①.直线AB的方程为y＋2＝y1+2x1x，令y＝－3，则x＝－x1y1+2，所以M（－x1y1+2，－3），｜PM｜＝｜－x1y1+2｜＝｜x1y1+2｜，同理得｜PN｜＝｜x2y2+2｜.因为x1x2＞0，即x1，x2正负相同，且y1＋2＞0，y2＋2＞0，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜x1y1+2｜＋｜x2y2+2｜≤15，即｜x1（y2+2）＋x2（y1+2）（y1+2)(y2+2）｜≤15，从而｜x1（kx2－1）＋x2（kx1－1）（kx1－1)(kx2－1）｜≤15　②.由①②可得，｜k｜≤3.综上可得－3≤k＜－1或1＜k≤3.所以k的取值范围为[－3，－1）∪（1，3].方法技巧圆锥曲线中最值（范围）问题的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.训练2[2023福建连江一中模拟]设双曲线C：x22－y23＝1，F1，F2为其左、右两个焦点.（1）设O为坐标原点，M为双曲线C的右支上任意一点，求OM·F1M的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值（大于｜F1F2｜），且cos∠F1PF2的最小值为－19，求动点P的轨迹方程. 解析　（1）设M（x，y），x≥2，左焦点F1（－5，0），∵OM·F1M＝（x，y）·（x＋5，y）＝x2＋5x＋y2＝x2＋5x＋3x22－3＝52x2＋5x－3（x≥2），对称轴为直线x＝－55≤2，∴OM·F1M∈[2＋10，＋∞）.（2）由椭圆定义得P点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），∵｜F1F2｜＝25，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴cos∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－202｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜－202｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－202｜PF1｜·｜PF2｜－1，由基本不等式得2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜≥2｜PF1｜·｜PF2｜，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜时等号成立，∴｜PF1｜·｜PF2｜≤a2，则cos∠F1PF2≥4a2－202a2－1＝－19，∴a2＝9，b2＝4，∴动点P的轨迹方程为x29＋y24＝1.