备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题

突破2圆锥曲线中的最值、范围问题1.[2023河南省安阳市阶段性测试]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，短半轴长为1.（1）求C的方程；（2）过点M（0，2）的直线l与C交于A，B两点，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求l的斜率的取值范围.解析　（1）由题可知ca＝32，b=1，a2＝b2＋c2，得a=2，b=1，c＝3，所以C的方程为x24＋y2＝1.（2）依题意，直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得x24＋y2=1，y＝kx+2，消去y整理得（1＋4k2）x2＋16kx＋12＝0，因为直线与椭圆相交，所以Δ＞0，即256k2－48（1＋4k2）＞0，解得k＜－32或k＞32.由根与系数的关系得，x1＋x2＝－16k1+4k2，x1x2＝121+4k2，所以y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝12k21+4k2＋－32k21+4k2＋4＝4－4k21+4k2，当∠AOB为锐角时，OA·OB＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以121+4k2＋4－4k21+4k2＞0，即k2－4＜0，解得－2＜k＜2，所以k∈（－2，－32）∪（32，2）.2.[2024陕西宝鸡模拟]设抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线x－2y＋1＝0与C交于A，B两点，且｜AB｜＝415.（1）求p；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，若MF·NF＝0，求△MNF面积的最小值.解析　（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由x－2y+1=0，y2=2px，可得y2－4py＋2p＝0，所以y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以｜AB｜＝5｜y1－y2｜＝5×（y1＋y2）2－4y1y2＝415，即2p2－p－6＝0，因为p＞0，所以p＝2.（2）由（1）得抛物线C：y2＝4x，则F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M（x3，y3），N（x4，y4），由y2=4x，x＝my＋n，可得y2－4my－4n＝0，所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0，得m2＋n＞0，因为MF·NF＝0，所以（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝0，即（my3＋n－1）（my4＋n－1）＋y3y4＝0，即（m2＋1）y3y4＋m（n－1）（y3＋y4）＋（n－1）2＝0，将y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，即4（m2＋n）＝（n－1）2＞0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋22或n≤3－22，设点F到直线MN的距离为d，则d＝｜n－1｜1+m2，｜MN｜＝1+m2｜y3－y4｜＝1+m216m2+16n＝1+m2·4（n－1）2＝21+m2｜n－1｜，所以△MNF的面积S＝12×｜MN｜×d＝12×21+m2×｜n－1｜×｜n－1｜1+m2＝（n－1）2，又n≥3＋22或n≤3－22，所以当n＝3－22时，Smin＝（2－22）2＝12－82.3.[2024吉林长春一模]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦的长度为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点M（0，m），若存在实数m，使得OA＋3OB＝4OM，求m的取值范围.解析　（1）因为椭圆C的离心率为32，所以有ca＝32，c2a2＝34，a2－b2a2＝34，可得b2a2＝14　①，在方程x2a2＋y2b2＝1中，令x＝±c，解得y2＝b2（1－c2a2）＝b4a2，y＝±b2a，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦的长度为1，所以有b2a－（－b2a）＝1　②，由①②可得a=2，b=1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.（2）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，于是有x24＋y2=1，y＝kx＋m，（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，可得Δ＝64k2m2－4（1＋4k2）（4m2－4）＞0，化简得4k2－m2＋1＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），于是有x1＋x2＝－8km1+4k2，x1x2＝4m2－41+4k2，因为OA＋3OB＝4OM，所以（x1，y1）＋3（x2，y2）＝4（0，m），得x1＋3x2＝0，得x1＝－3x2， 代入x1＋x2＝－8km1+4k2中，得－3x2＋x2＝－8km1+4k2，x2＝4km1+4k2，于是有（－3x2）·x2＝4m2－41+4k2，－3（4km1+4k2）2＝4m2－41+4k2，化简得k2＝m2－14－16m2，代入4k2－m2＋1＞0中，得4×m2－14－16m2－m2＋1＞0，得14＜m2＜1，所以m∈（12，1）∪（－1，－12）.4.[2023重庆市名校联考]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）与双曲线x2－y2＝1有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线在第一象限交于点B，△ABF的面积为2（2＋1）.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y＝kx－1与C的左、右两支分别交于M，N两点，与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，｜MN｜＝λ｜PQ｜，求实数λ的取值范围.解析　（1）因为双曲线C与双曲线x2－y2＝1有相同的渐近线，所以a＝b.设B（xB，yB），则xB＝c＝2a.由已知，将xB＝2a代入x2a2－y2b2＝1，可得yB＝a.由12×｜BF｜×｜AF｜＝2（2＋1），得12×a×（a＋c）＝12×a×（a＋2a）＝2（2＋1），所以a＝2，故双曲线C的方程为x24－y24＝1.（2）由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝kx－1，x24－y24=1，消去y并整理得，（1－k2）x2＋2kx－5＝0，所以1－k2≠0，Δ＝（2k）2－4（1－k2）×（－5）>0，x1x2＝－51－k2<0，解得－1＜k＜1，则x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－51－k2，所以｜MN｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（－2k1－k2）2－4×－51－k2＝21+k2×5－4k21－k2.不妨设点P在渐近线y＝x上，点Q在渐近线y＝－x上，P（x3，y3），Q（x4，y4），由y＝kx－1，y＝x得，x3＝1k－1.同理得，x4＝1k+1.所以｜PQ｜＝1+k2｜x3－x4｜＝1+k2｜1k－1－1k+1｜＝21+k21－k2，所以λ＝｜MN｜｜PQ｜＝21+k2×5－4k21－k221+k21－k2＝5－4k2，－1＜k＜1， 因为5－4k2∈（1，5]，所以λ的取值范围是（1，5].